Plc, Y Su Algebra De Booole

Automatización Industrial

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Álgebra de Boole

Automatismos cableados

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Introducción

• Se ha modelado la realidad como 0’s y 1’s

• La salida es una función de las entradas

• ¿Cómo se forma la función?

– Álgebra de Boole

• ¿Cómo se simplifica?

– Álgebra de Boole

• ¿Cómo se implanta?

– Depende de la tecnología elegida

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Algebra de Boole

• Un álgebra está definida por:

– Un conjunto de elementos Κ

– Un conjunto de operaciones Φ que actúan sobre los miembros de

Κ y que cumplen unas ciertas propiedades

• El Algebra de Boole (caso más simple) se define por:

– Un conjunto B con sólo dos elementos {0,1}

– Un conjunto de operaciones (lógicas) {+,·,’} definidas sobre B

• 2 operaciones binarias (f(x,y)):

– (+) función suma, función O, función OR

– (·) función multiplicación, función Y, función AND

• 1 operación monaria (f(x)):

– (‘ ó ¯) función negación, función NO, función NOT

– tales que para x,y,z ∈ B se cumplen las siguientes propiedades:

• Postulados de Huntington

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Postulados (axiomas) de Huntington

• Conjunto cerrado:

– x·y ∈ B, x+y ∈ B, x’ ∈ B

• Ley conmutativa:

– x+y=y+x

– x·y=y·x

• Ley asociativa:

– (x+y)+z=x+(y+z)

– (x·y)·z=x·(y·z)

• Ley distributiva:

– (x+y)·z=x·z+y·z

– x+y·z=(x+y)·(x+z)

• Identidad:

– x+0=x

– x·1=x

• Complemento

– x+x’=1

– x·x’=0

• En la siguiente transparencia

se definen las operaciones

básicas. Todas ellas cumplen

los postulados de

Huntington. Puede haber otra

definición que también los

cumpla.

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Definición operaciones básicas/tablas de verdad

• Función suma lógica, O o OR

– Para activar la salida, a o b

tienen que estar activas

• Función producto lógico, Y o

AND

– Para activar la salida, a y b

tienen que estar activas

• Función complemento, NO o

NOT

a b a+b

0 0 0

0 1 1

1 0 11

1 1

a b a·b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a a’

0 10

1

a

b

c = a·b

a

b

c = a+b

a b = a’

¡¡ 1 + 1 = 1 !!

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Variables, expresiones lógicas, tablas de verdad

• Variable lógica (booleana)

– Variable perteneciente a B

– Por tanto, sólo puede tener dos

valores: 0 y 1

• Expresión (función) lógica

(booleana)

– Combinación de variables lógicas

pertenecientes a B y de operaciones

lógicas (+ paréntesis):

• f = xy+xy’z+x’yz (· implícito)

• Tabla de verdad equivalente a la

anterior.

• Formas estándar de representación:

– Producto de sumas

– Suma de productos

• Tabla de verdad (con todas las

posibilidades) y expresión lógica

son equivalentes entre sí.

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

x y z f

A una misma tabla de la verdad

le corresponden varias expresiones

lógicas

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Equivalencia entre expresiones

• Dos expresiones son equivalentes si sus tablas de verdad

son iguales

– f1 = a+bc

– f2 = (a+b)(a+c)

• O si se puede llegar de la una a la otra (ambas direcciones)

– f2=(a+b)(a+c)=aa+ac+ba+bc=a+ac+ba+bc=a(1+c+b)+bc=a+bc

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

a b c a+b·c (a+b)(a+c)

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Convertir tabla de verdad en expresión lógica I

• Forma canónica con minterm:

• 1. Tómese cada combinación

que dé 1 a la salida y fórmese

un producto de variables, de

forma que si una variable vale

0 en aquella fila se coloca su

complemento y si vale 1 se

coloca la variable sin

complementar.

• 2. Escríbase la función que

resulta de sumar todos los

productos.

• f=x’yz’+x’yz+xy’z+xyz’+xyz

• Hay muchas expresiones

equivalentes f=x’y+xy’z+xy

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

...