Programación dinámica

INTRODUCCIÓN.

La Programación Dinámica fue desarrollada por Richard Bellman y G B Dantzing. Sus importantes contribuciones sobre esta técnica cuantitativa de toma de decisiones se publicaron en 1957 en un libro del primer autor denominado “Dynamic Programming” (Princeton University Press. Princeton, New Jersey).

Inicialmente a la PD se le denominó programación lineal estocástica ó problemas de programación lineal con incertidumbre. La programación dinámica (PD) determina la solución óptima de un problema de n variables descomponiéndola en n etapas, con cada etapa incluyendo un subproblema de una sola variable. La principal contribución de la PD es el principio de optimalidad, el cual establece que una política óptima consiste de subpolíticas óptimas, un marco de referencia para descomponer el problema en etapas.

La programación dinámica es una técnica que se puede aplicar para resolver muchos problemas de optimización. La mayor parte de las veces, la programación dinámica obtiene soluciones con un avance en reversa, desde el final de un problema hacia el principio con lo que un problema grande y engorroso se convierte en una serie de problemas más pequeños y más tratables.

Así, la programación dinámica se puede definir como una técnica matemática útil que resuelve una serie de decisiones secuenciales, cada una de las cuales afecta las decisiones futuras. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación de decisiones que maximiza la efectividad total. En contraste para el problema de programación dinámica, trata de un enfoque de tipo parcial para la solución de problemas y las ecuaciones específicas que se usan se deben desarrollar para que represente cada situación individual.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA.

1.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Las características de la programación dinámica se emplean para formular e identificar la estructura de los problemas de este tipo.

A continuación se presentarán estas características básicas que distinguen a los problemas de programación dinámica.

El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una de ellas. En muchos problemas de programación dinámica, la etapa es la cantidad de tiempo que pasa desde el inicio del problema, en ciertos casos no se necesitan decisiones en cada etapa.

Cada etapa tiene un cierto número de estados asociados a ella. Por estado se entiende la información que se necesita en cualquier etapa para tomar una decisión óptima.

El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la siguiente etapa (tal vez de acuerdo a una distribución de probabilidad).

El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo, es decir, una receta para las decisiones de la política óptima en cada etapa para cada uno de los estados posibles.

Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores. (este es el principio de óptimalidad para la programación dinámica). En general en los problemas de PD, el conocimiento del estado actual del sistema expresa toda la información sobre su comportamiento anterior, y esta información es necesario para determinar la política óptima de ahí en adelante.

El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última etapa. La política óptima para la última etapa prescribe la política óptima de decisión para cada estado posible en esa etapa.

Se dispone de una relación recursiva que indica la política óptima para la etapa dada la política óptima para la etapa (n+1)

A pesar de esta característica, los problemas que pueden ser atacados con la PD tienen otras dos propiedades adicionales:

Sólo un número reducido de variables se debe conocer en cualquier etapa con el fin de describir al problema. En efecto, los problemas de la PD se caracterizan por la dependencia de los resultados derivados de decisiones sobre un número reducido de variables.

El resultado de una decisión en cualquier etapa altera los valores numéricos de un número reducido de variables relevantes al problema. La decisión actual ni incrementa ni decrementa el número de factores sobre los cuales depende el resultado. Así, para la siguiente decisión en la secuencia, el mismo número de variables se considera (Hillier, 1991).

En un problema de PD una serie de decisiones se deben tomar en una secuencia dada. Cuando esto se cumple, una política óptima se debe perseguir. No importa cuáles fueron los estados y decisiones iniciales, las decisiones restantes constituirán una política óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión.

1.2. EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

El problema de la diligencia.

Un problema construido especialmente por el Profesor H M Wagner de la Universidad de Stanford para ilustrar las características e introducir la terminología de la PD es el problema de la diligencia.

Este problema se refiere a un vendedor mítico que tuvo que viajar hacia el oeste utilizando como medio de transporte una diligencia, a través de tierras hostiles, en el último cuarto del siglo XIX. Aun cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenía un número considerable de opciones para elegir qué estados (o territorios que posteriormente se convirtieron en estados) recorrer en su ruta.

En la figura 1.1 se muestran las rutas posibles, en donde cada estado se representa por un bloque numerado.

Figura 1.1. Sistema de caminos para el problema de la diligencia.

De la ilustración se puede observar que el viaje se puede realizar en 4 etapas, partiendo del estado 1 hasta su destino en el estado 10:

Primera etapa: estados 1 y (2, 3, 4)

Segunda etapa: estados (2, 3,4) y (5, 6, 7)

Tercera etapa: estados (5,6,7) y (8, 9)

Cuarta etapa: estado (8,9) y10

Puesto que se ofrecían seguros de vida a los pasajeros de las diligencias, este vendedor no quiso dejar pasar la oportunidad y se propuso determinar la ruta más segura. Como el costo de cada póliza se basaba en una evaluación cuidadosa de la seguridad de ese recorrido, la ruta más segura debía ser aquella con la póliza de seguro de vida más barata. El costo de la póliza estándar para el viaje en diligencia del estado i al j se muestra en figura 1.1 como una etiqueta en los caminos (flechas) para ir de un estado a otro.

Así la pregunta central es: ¿cuál ruta (conjunto de

...