Regimen Transitorio

Concepto de régimen transitorio.

• Un circuito antes de llegar a una situación estacionaria o régimen permanente pasa por un periodo de transición durante el cual tensiones y corrientes varían hasta llegar a la condición de equilibrio impuesta por la red.

• En general, cualquier proceso de conexión/descone-xión hará que existan fenómenos transitorios. Éstos, aunque generalmente son de corta duración, pueden producir problemas serios en el funcionamiento de los circuitos.

• Este régimen transitorio viene condicionado por los componentes que almacenan energía: bobinas y condensadores.

• El análisis se realiza resolviendo las ecuaciones diferenciales que resultan de aplicar las leyes de Kirchhoff y determinando las constantes de integración que resultan de las condiciones iniciales del circuito.

• Este método es sencillo de aplicar en circuitos simples, 1er orden y 2º orden, pero es complicado para circuitos de orden superior (Transformada de Laplace).

Ecuación diferencial y condiciones iniciales.

Tras aplicar las leyes de Kirchhoff a los circuitos de 1º y 2º orden obtendremos ecuaciones como estas:

Donde a,b,c=ctes.

La solución completa de una ecuación diferencial lineal (con coeficientes ctes.) se compone de dos sumandos:

1.Solución general (de la ec. homogénea):

Se obtiene resolviendo la ecuación cuando g(t) se hace cero, es decir cuando se anula la excitación del circuito (se considera únicamente la energía almacenada en los elementos reactivos). Esta solución se conoce como respuesta natural, propia o libre, fn(t).

2.Solución particular:

Depende del tipo de excitación del circuito. Esta solución se conoce como respuesta forzada, ff(t).

Solución completa = sol. general + sol. particular

Condiciones iniciales de los elementos

Para determinar las constantes de integración es necesario conocer el estado del circuito en un instante de tiempo determinado. En la práctica este instante se hace coincidir con la conexión o desconexión de los interruptores. Por conveniencia se toma t=0, de tal forma que t=0- representa el instante inmediatamente anterior a la conmutación y t=0+ el inmediato posterior.

El estado del circuito en t=0- se define con la tensión en bornes de capacidades e intensidades por las bobinas. Estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.

Para evaluar las constantes de integración en t=0+ hay que tener en cuenta que variables son continuas en t=0 (es decir f(0-)=f(0+)).

Resistencia:

La tensión sigue instantáneamente las variaciones de la corriente.

Condensador:

La tensión no puede variar de forma instantánea (i(t)→∞), entonces vC(0-)=vC(0+)=vC(0).

En c.c., régimen permanente t=∞, C= circuito abierto.

Inductancia:

La corriente no puede variar de forma instantánea (v(t)→∞), entonces iL(0-)=iL(0+)= iL(0).

En c.c., régimen permanente t=∞, L= cortocircuito.

Respuesta de circuitos de 1r orden.

Circuitos de 1r orden:

Son circuitos con un elemento almacenador de energía o varios que puedan ser sustituidos por uno equivalente.

3.1 Respuesta natural de un circuito RL

Objetivo: Calcular la evolución de la corriente i(t) en el circuito RL cuando desconectamos la alimentación.

El interruptor ha permanecido mucho tiempo cerrado.

Para t menor que 0 toda la corriente circulaba por la bobina (L cortocircuitada) entonces iL(t=0-) = Ig (condición inicial).

Si abrimos el interruptor, el circuito quedará:

Aplicando KVL:

Solución general de este tipo de ecuaciones:

Cálculo de s:

descartando la solución trivial A=0

Cálculo de A:

y condiciones iniciales

Sustituyendo (5) y (4) en (2)

La i(t) se decrementa exponencialmente a una velocidad que depende del coeficiente R/L. A su recíproco se le denomina constante de tiempo τ=L/R. Este parámetro es importante ya que establece la frontera entre régimen transitorio y permanente ( t≥5τ).

(6) está definida para t≥0 por la condición de continuidad de la I

(7) está definida para t≥0+, en t=0 existe discontinuidad de la V (V(0-)=0, V(0+)= RIg)

3.2 Respuesta natural de un circuito RC

Objetivo: Calcular la evolución de la tensión v(t) en el circuito RC cuando desconectamos la alimentación.

El conmutador ha permanecido mucho tiempo en a.

Condiciones iniciales:

Si pasamos el conmutador de el circuito queda:

Aplicando KCL:

Solución general:

Cálculo de s:

descartando A=0

Cálculo de A:

y condiciones iniciales

Sustituyendo (12) y (11) en (9)

En este caso τ=RC donde R=Requi que "ve" C

(13) está definida para t≥0 por la condición de continuidad de la V

(14) está definida para t≥0+, en t=0 existe discontinuidad de la I (I(0-)=0, I(0+)= Vg/R)

3.3 Respuesta al escalón de un circuito RL

Objetivo: Calcular la evolución de la corriente i(t) en el circuito RL cuando conectamos una alimentación.

El interruptor ha permanecido abierto mucho tiempo.

Condición inicial ; L puede tener energía almacenada que se traduce en una corriente inicial no nula (iL(0-) = Io).

En t=0 se cierra el interruptor:

Aplicando KLV:

Solución completa = (sol. particular + sol. general):

Sol. particular= valor final de la variable [i(t=∞)]

En t=∞ se alcanza régimen estacionario (c.c.) → L ccto.

Solución completa = (sol. particular + sol. general):

Cálculo de s:

(16)→(15)

descartando A=0

Cálculo de A:

t=0→(16) y condiciones iniciales

Sustituyendo (18) y (20) en (16)

Aplicar ley de Ohm para cálculo de v(t), definida para t≥0+.

3.4 Respuesta al escalón de un circuito RC

Objetivo: Calcular la evolución de la tensión v(t) en el circuito RC cuando conectamos la alimentación.

El interruptor ha permanecido mucho tiempo abierto.

Condición inicial ; C puede tener energía almacenada que se traduce en una tensión inicial no nula (Vc(0-) =Vo).

En t=0 se cierra el interruptor:

Aplicando KCL:

Solución

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