UNELLEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LOS LLANOS OCCIDENTALES

EZEQUIEL ZAMORA

UNELLEZ- SOSA-BARINAS

Profesor:

González Edmundo

Bachilleres:

Fonseca Marily

Figueroa Yusnedys

Pérez Rllis

Puerta María

Carrera: Matemática

Semestre: IV

Ciudad de Nutrias, Enero 2014

ÍNDICE.

• Introducción.

 Definición de espacios vectoriales.

 Propiedades en los espacios vectoriales.

 Subespacios vectoriales.

 Dependencia e independencia lineal.

 Base y dimensión

 Bases ortogonales.

• Conclusión.

• Bibliografía.

INTRODUCCION

Podemos asegurar que en todos los espacios vectoriales son posibles dos operaciones: Sumar dos vectores cualesquiera, y Todos los vectores pueden multiplicarse por escalares En otras palabras, puede trabajarse con combinaciones lineales.

Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta de que tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevos problemas, sin tener una buena base de los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podríamos realizar los problemas de otros temas no presentes en este trabajo ejemplo “los valores y vectores propios” en este se necesita que se domine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este tema ya que están grandemente relacionados .

También tratamos de sacar la esencia de cada tema y darles una vista relativamente rapida pero completa, ya que este trabajo esta propuesto para enseñar brevemente pero ampliamente los temas en este trabajo.

1. DEFINICION DE ESPACIOS VECTORIALES.

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:

2. PROPIEDADES EN LOS ESPACIOS VECTORIALES.

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :

supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

• Si es cierto.

• Si entonces:

Notación

.

Observación

• Si

• Si

Primer ejemplo con demostración al detalle

Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre

Si juega el papel de y el de :

Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente

En se define la operación suma:

donde:

y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

Esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

3. DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL.

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuencias

hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia

...