Vectores Libres

Introducción.-

El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la Fuerza o la Velocidad.

Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales.

En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en este siglo, la palabra vector es Hamilton.

Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a espacios de dimensión(n).

Gauss los utilizó para representar los números complejos.

Operaciones con vectores.-

Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:

Un Vector es un segmento orientado.

A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.

Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.

Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.

(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores: y cumplen las tres condiciones de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.

Todos ellos son representantes de un único vector.

Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra minúscula: (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: (por ejemplo)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

Dado un número y un vector definimos el vector [o simplemente ] como aquel que:

*tiene la misma dirección que .

*el mismo sentido que si y

sentido contrario al de si

*su módulo es igual al de multiplicado por el valor absoluto de: .

Si el vector se denomina opuesto del vector , se escribe:

Si el vector es el vector cero: cuyo extremo y orígen coinciden.

SUMA Y RESTA DE VECTORES.

Dados dos vectores y cualesquiera.

Para poder sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con orígen común(O).

En ese caso el vector suma: es la diagonal cuyo orígen es (O).

El vector resta: es la diagonal que va del extremo de al extremo de .

Producto escalar de dos vectores. Propiedades

Se define el producto escalar de dos vectores y como

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