1.5 Problema De Dimensionalidad En P. D.

1.5 Problema de dimensionalidad en P. D.

En todos los modelos de programación dinámica a modo de explicación representamos el estado en cualquier etapa con una sola variable, como lo es el problema de la mochila, donde el problema especifica el peso del artículo como una restricción. Pero en un caso más realista el volumen de la mochila también puede ser otra restricción viable. En este caso de dice que el estado en cualquier etapa es bidimensional porque consisten en dos variables: Peso y volumen.

El aumento en la cantidad de variables de estado aumenta los cálculos en cada etapa. Esto es especialmente evidente en los problemas de programación dinámica con cálculos tabulares en los que la cantidad de renglones de cada cuadro corresponde a todas las combinaciones posibles de variables de estado. Esta dificultad computacional es tan evidente en la programación dinámica que los libros o publicaciones le llaman la maldición de la dimensionalidad

La programación dinámica tradicional permite obtener las trayectorias óptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo de funcional o índice de desempeño y con restricciones en las variables. Los algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cómputo digital ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicación de estos algoritmos a sistemas continuos exige la discretización de las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso o sistema, así como la cuantificación de las variables de estado, de las variables de decisión o control y del tiempo.

Para obtener resultados útiles se debe construir una rejilla de estados suficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, se deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las variables de adicionales de cálculo cuando la trayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado cuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizar interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisión o control óptima y del índice de costo.

Con un número del orden de cinco variables de estado, los algoritmos tradicionales de programación dinámica exigen elevados requisitos de memoria y de tiempo de cálculo a los sistemas de procesamiento digital. Esta característica de la metodología fue denominada “maldición de dimensionalidad” por el propio Bellman, lo cual desalentó el empleo de la programación dinámica tradicional durante más de veinte años.

Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programación dinámica para la solución de problemas de control óptimo, tales como, la obtención de una solución óptima global, el tratamiento de sistemas no lineales y variantes, la utilización de cualquier índice de desempeño, y el hecho de que cuanto más restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de tiempo de cómputo

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