ACTIVIDAD 6 MODULO 2
Enviado por lizeth.may • 8 de Octubre de 2014 • 727 Palabras (3 Páginas) • 1.225 Visitas
Objetivo: Comprender el concepto de inducción practicando con problemas de inducción matemática.
Procedimiento:
1. Leímos el tema 6 “Razonamientos inductivos”.
2. El profesor asignó de tarea la actividad 6.
3. Nos reunimos en equipos y leímos los problemas.
4. En equipo comentamos nuestros puntos de vista y llegamos a una conclusión en común.
Resultados:
Primera parte
1. Es famoso el problema que Gauss resolvió con un par de multiplicaciones, cuando su maestro le pidió sumar del uno al cien. El gran niño-matemático se dio cuenta que toda la suma se daba como dos productos: el número final de la serie por el número siguiente divididos entre dos.
3. Demuestren inductivamente que esto sucede en los primeros diez números.
Es decir:
1+2 = 3 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 3).
1+2+3=6 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 6).
1+2+3+4= 10
1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ¿?
4. Observen lo siguiente:
Imaginen que queremos sumar del 1 al 10 y a esta suma la simbolizamos simplemente como “S”.
Entonces:
1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S
Esto mismo podemos hacerlo al revés:
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S
Si sumamos las dos series, observamos que cada par de la serie suma la misma constante (11) diez veces, y todo esto será obviamente igual a 2S. Para entender esto, observen la siguiente suma término a término:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S
11 + 11+11+11+11+11+11+11+11+11 = 2S
RESULTADOS
Es decir que 10 (11) = 2S
O sea que 10 (11)/2=S De donde S = 55.
En resumen para sumar del 1 al 10 no tenemos que hacer todas las sumas sino simplemente estos dos productos y dividir el resultado entre dos. No resulta muy difícil pensar que para sumar “n” números simplemente tenemos que hacer el siguiente cálculo: S=n(n+1)/2.
Así que el joven Gauss, cuando su maestro le pedía sumar del 1 al 100. Simplemente multiplicó y dio con ello la respuesta correcta.
100(101)/2=5050=S
Segunda parte
10. Resuelvan en equipo el siguiente problema:¿Cuántos saludos se dan en
un grupo de 20 personas?
Primero intentamos resolver la serie, tratando de predecir los resultados; al ver que no llegamos a un resultado, intentamos por medio de un diagrama, aunque al ser 20 personas, resultaba muy extenso y confuso; finalmente nos pusimos a pensar sobre la “Suma de Gauss” y como esto nos puede ayudar a la solución de este problema.
Con base en la fórmula de la
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