APLICACIÓN A LA INTERPOLACIÓN MEDIATE POLINOMIOS

APLICACIÓN A LA INTERPOLACIÓN MEDIATE POLINOMIOS

A menudo se encuentran en situaciones en las que dos variables x e y están relacionadas pero la forma real de la función de la relación y= f(x) no se conoce. Supóngase que para ciertos valores x1, x2 ......, xn de x, se conocen los correspondientes valores y1, y2 ......, yn de y (puede que por medidas experimentales). Una forma de estimar el valor y correspondiente a algún otro valor de x es encontrar un polinomio p(x). Dicho polinomio siempre existe si todos x1 so distintos entre sí.

TEOREMA 1

Sean n pares de datos expresador por: ( x1, y1), ( x1, y2),… ( xn, yn) y supogase que los x1 son distintos entre sí. Entonces, existe un único polinomio

p(x)= ro +r1x+r2x2+…..+ rn-1xn-1

Tal que p(x1)=y1 para cada i= 1, 2, …. n

DEMOSTRACIÓN

Las condiciones para que p(x1)= y1 son

        ro +r1x1+r2x2+…..+ rn-1xn-1 = y1

ro +r1x2+r2x2 2+…..+ rn-1x2 n-1 = y1

ro +r1x0+r2x2 2+…..+ rn-1xn n-1 = yn

Matricialmente, esto se expresa como

Se puede demostrar (véase el teorema 2) que el determinante de la matriz de coeficiente es igual al producto de todos los términos (x1-x1) con i › j y por tanto es distinto de cero (porque los x1 son distintos entre si). Por tanto las ecuaciones poseen una única solución r0, r1 ….. rn-1 y el teorema continua.

Al polinomio del Teorema 1 se le conoce como polinomio de interpolación para los datos de partida

EJEMPLO 1 [pic 1]

Encontrar un polinomio p(x) de grado 2, tal que p(0)= 1, p(1)=3 y p(2)= 2

Solución

Se escribe p(x)= +x +. Las condiciones son[pic 2][pic 3][pic 4]

 p(0)=                 = 1[pic 5]

p(1)= [pic 6]

p(2)= [pic 7]

La solución es [pic 8]

El siguiente ejemplo muestra cómo se utiliza el Teorema 1 en la interpolación.

EJEMPLO 2[pic 9]

Dado los valores

   (0;1,21), (1;3,53), (2;5,01), (3;3,79)

Utilizar el polinomio de interpolación para estimar el valor de y correspondiete a x=1,5

Solución

Se trata de encontrar el polinomio p(x) de grado 3 que ajuste estos datos

Si p(x) = [pic 10]

                                 = 1,21[pic 11]

 [pic 12]

 [pic 13]

[pic 14]

La solución es  por lo que el polinomio de interpolación es p(x)=1,21+2,12x+0,51x2- 0,31x3. De aquí se deduce el valor estimado y correspondiente a x=1,5 es p(1,5)= 4,49.[pic 15]

Como ejemplo final, se construirá a continuación un polinomio que aproxima una función conocida. Este tipo de aproximación resulta a menudo muy útil en situaciones prácticas ya que los polinomios son fáciles de calcular.

APLICACIÓN A LAS RECURRENCIAS LINEALES

Ocurre a menudo que un problema se puede resolver hallando una sucesión de números x0, x1, x2,…… donde los primeros de ellos son conocidos y el resto de números se dan en términos de los anteriores. A continuación se da un ejemplo de combinatoria donde el objetivo es contar el número de veces que se hace algo.

EJEMPLO 1[pic 16]

Un planificador de urbanismo desea determinar el numero x1, de maneras en que una fila k plazas de aparcamiento puede ser ocupada en coches (c) y camiones (C), si los camiones ocupan dos plazas cada uno. Encontrar los primeros valores de x1,

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