ARITMÉTICA BINARIA

ARITMÉTICA BINARIA

Operaciones elementales con números binarios

Suma de números binarios

Resta de números binarios

Complemento a dos

Complemento a uno

Restar con el complemento a dos

Multiplicar números binarios

Dividir números binarios

La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.

Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+

0

1

0

0

1

1

1

0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710

001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1:

Realiza las siguientes sumas de números binarios:

111011 + 110

111110111 + 111001

10111 + 11011 + 10111

Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

-

0

1

0

0

1

1

1 + 1

0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

Ejercicio 2:

Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:

111011 - 110

111110111 - 111001

1010111 - 11011 – 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101

010101110010 0101 0111 0010

010000101011 0100 0010 1011

Calculando el complemento a dos del sustraendo

Complemento a dos

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:

Calcula el complemento a dos de los siguientes números:

11001, 10001011, 110011010

Complemento a uno

El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:

C1N = C2N - 1

y, por la misma razón:

C2N = C1N + 1

Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:

siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011

C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010

C1N = 010010

Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un número

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