Aceleracion Media E Instantanea

Aceleración media e instantánea

Definición de la aceleración de una partícula en un movimiento cualquiera. Obsérvese que la aceleración no es tangente a la trayectoria.

Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la figura. Se define la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente:

<\mathbf a>= \mathbf{\bar{a}}= \frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t}

Que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado. La aceleración instantánea se la define como el límite al que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

\mathbf{a}= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t} = \frac{d \mathbf v}{dt}

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de la posición con respecto del tiempo:

\mathbf{a} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

\mathbf v - \mathbf{v}_0= \int_{t_0}^t \left({\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}t

Se puede obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

\mathbf{v}= \int_0^t \mathbf{a} dt + \mathbf{v}_0

Medición de la aceleración

La medida de la aceleración puede hacerse con un sistema de adquisición de datos y un simple acelerómetro. Los acelerómetros electrónicos son fabricados para medir la aceleración en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varia su conductividad en función de las medidas, que a su vez serán relativas a la aceleración del conjunto.

Unidades

Las unidades de la aceleración son:

Sistema Internacional

1 m/s2

Sistema Cegesimal

1 cm/s2 = 1 Gal

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Componentes intrínsecas de la aceleración.

En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleración a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrínsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial at (en la dirección de la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal an (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto significa que no es constante) obtenemos

\mathbf{a}= \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v \,\mathbf{\hat{e}}_t) = \frac{dv}{dt}\mathbf{\hat{e}}_t + v \frac{d\mathbf{\hat{e}}_t}{dt} = a_t \mathbf{\hat{e}}_t + v(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{\hat{e}}_{\text{t}})

siendo \mathbf{\hat{e}}_t el vector unitario tangente

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