Actividad 7 Modulo2

Criterio De La Integral

“Ttradicionalmente el enunciado del Criterio de la Integral pide que la función sea continua, positiva y decreciente.”

Ejemplo #1

Criterio de series geométricas

La serie geométrica:

∑_(n=1)^∞▒〖ar^(n-1) 〗=a+ar+ar^2+⋯

Es convergente si |r|<1 y su suma es:

∑_(n=1)^∞▒〖ar^(n-1) 〗=a/(1-r)

Si |r|≥1, la serie geométrica es divergente.

Ejemplo: Calcule la suma de la serie geométrica

5-10/3+20/9-40/27+⋯

Solución: El primer término es a=5 y la razón común es r=-2/3. Como |r|=-2/3<1, la serie es convergente y su suma es

5-10/3+20/9-40/27+⋯=5/(1-(-2/3) )=5/(5/3)=3

Criterio del n-ésimo para la divergencia.

El siguiente teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-ésimo debe ser cero.

TEOREMA 9.8 Límite del término n-ésimo de una serie convergente.

Si ∑_(n=1)^∞▒a_n converge, entonces lim┬(n→∞)⁡〖a_n=0〗

El contrarrecíproco del teorema 9.8 proporciona un criterio útil para demostrar la divergencia. Este criterio del término n-ésimo para la divergencia establece que si el límite del término n-ésimo de una serie no converge a 0, la serie debe divergir.

TEOREMA 9.9 Criterio del término n-ésimo para la divergencia

Si lim┬(n→∞)⁡〖a_n 〗≠0, entonces ∑_(n=1)^∞▒a_n diverge

Ejemplo: Aplicación del criterio del término n-ésimo para la divergencia.

En la serie ∑_(n=0)^∞▒2^n , se tiene

lim┬(n→∞)⁡〖2^n 〗=∞

Asi pues, el límite del término n-ésimo no es 0, y la serie diverge.

En la serie ∑_(n=1)^∞▒1/n , se tiene:

lim┬(n→∞)⁡〖1/n〗=0

Como el límite del término n-ésimo es 0, el criterio del término n-ésimo para la divergencia no es aplicable y no se puede dibujar ninguna conclusión sobre convergencia o divergencia.

Es un método simple ya que sólo hay que ver si el límite de la función es diferente de cero, de serlo, diverge, de lo contrario tendremos que usar otro método, ya que no sirve para demostrar la convergencia.

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