Algebra: la ecuación general del plano

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

Contiene a los puntos P = (-8,5,0) , Q = (5,-4,-3) y R = (-3,-2,-1)

Contiene al punto P = (-1,-8 - 3) y tiene como vector normal a n = -5iˆ - 2 ˆj + 6kˆ

Solución:

a. Recordemos que la ecuación cartesiana de un plano la obtenemos de:

N•[(x,y,z) - P] = 0

donde:

N = vector normal del plano

P = punto perteneciente al plano

Por lo tanto

N = QPxRP

QP = (5+8,-4-5,-3-0) = (13,-9,-1)

RP = (-3+8,-2-5,-1-0) = (5,-7,-1)

Ahora hallemos N:

N = QPxRP

N = (13,-9,-1)x (5,-7,-1)

N= det ■(i&j&k@13&-9&-3@5&-7&-1)

N= i (9-21) – j (-13 + 15) + k (-91+45)

N= -12i – 2i – 46k

N = (-12,-2,-46)

ecuación del plano:

N•[(x,y,z) - P] = 0

N•(x,y,z) = N•P

-12x - 2y - 46z = (-12,-2,-46)•(-8,5,0)

-12x - 2y - 46z = 96 - 10

-12x - 2y - 46z – 86 = 0

b. Contiene al punto P = (-1,-8 - 3) y tiene como vector normal a n = -5iˆ - 2 ˆj + 6kˆ

Ecuación del plano:

N•[(x,y,z) - Q] = 0

N•(x,y,z) = N•Q

-5x - 2y + 6z = (-5, -2, 6)•(-1,-8, -3)

-5x - 2y + 6z = 5 + 16 - 18

-5x - 2y + 6z = 3

-5x - 2y + 6z – 3 = 0

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