Algebra - Ecuacion De Tercer Grado

Método de Cardano

Sea una ecuación algebraicapolinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola variable de la forma

con (1)

donde son sus coeficientes polinomiales. Sean las tres raíces de la ecuación que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente principal obtenemos

si definimos , la ecuación queda como

con lo cual hemos ya normalizado la ecuación , pues es más fácil de trabajar la ecuación ya normalizada que la ecuación , pero con la ventaja de que las raíces de ambas son exactamente iguales. Ahora, realicemos la transformación de Tschirnhausen, dada en la forma

lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación en la ecuación , así se obtiene

donde al desarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da

y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes

obtenemos la ecuación

a la cual se le llama ecuación cúbica reducida por contener un término menos (en este caso ha desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhausen) que la ecuación completa , la cual es más fácil de resolver que la ecuación , de modo que si resolvemos la ecuación entonces las raíces de la ecuación se calcularán de forma sencilla usando la ecuación por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si , implica necesariamente según las ecuaciones y que . La ecuación tiene tres raíces que se calculan como sigue:

donde los valores de , y se definen como

Donde es el discriminante de la ecuación cúbica y nos ayuda a establecer cuatro casos posibles distintos como sigue.

Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí

Si y , para , se tiene para la ecuación una raíz real dada como por la ecuación y dos raíces complejas conjugadas , dadas por las ecuaciones y . Al restar a cada una de estas raíces la cantidad de acuerdo a la ecuación se obtiene una raíz real y dos complejas conjugadas también para la ecuación de interés . Este es uno de los dos casos en que se presentan las raíces de multiplicidad unitaria.

Ejemplo 1. Usando el método de Cardano calcule las tres raíces de la ecuación cúbica siguiente:

Solución. Primero normalizamos la ecuación dividiendo ambos lados por su coeficiente principal , para dar

la cual al compararla con la ecuación podemos definir que , con los cuales podemos calcular y a partir de las ecuaciones y respectivamente para dar

con estos valores podemos calcular el discriminante mediante la ecuación para dar

puesto que y , entonces obtendremos una raíz real y dos complejas conjugadas. Para ello, calculamos primero los valores de A y B mediante las ecauciones y , respectivamente, para dar

las raíces de la ecuación se calculan mediante las ecuaciones , y para dar respectivamente

ahora, ya por último, usaremos la ecuación para poder

...