Algebra.

TEMA 6

ÁLGEBRA

1. USO DE LAS LETRAS

Cuando en las operaciones se usan números se dice que es un “lenguaje numérico”. Cuando en las operaciones se utilizan números y letras, se dice que se usa un “lenguaje algebraico”

2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el que resulta al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo: Calcular el valor numérico de

a = 4

b = - 7

c = 8

Solución:

3. MONOMIO

Monomio Es la expresión algebraica donde no figuran las operaciones de sumar y restar.

Un monomio consta de un coeficiente que es el número que multiplica a las letras y de una parte literal, que son las letras con sus respectivos exponentes.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras.

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

3a 2bc 3 a2bc 4

-4x3y2z -4 X3y2z 6

a2 b 3

3x2 3 X2 2

4. MONOMIOS SEMEJANTES

Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal; es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.

5. SUMA DE MONOMIOS

Para sumar monomios semejantes se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Ejemplo:

3 a2b + 7a2b + 4 a2 b = 14 a2b

Si en una suma aparece3n monomios semejantes y otros no semejantes, podemos agrupar los que lo son. Esta operación se denomina reducción de términos semejantes.

Ejemplo:

6a2b3 + 7 ab + 8 a2b3 + 4 ab = 14 a2b3 + 11ab

6. RESTA DE MONOMIOS

Para restar dos monomios semejantes se suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

4x2 - (-5x2) = 4x2 + (5x2) = 9x2

Minuendo sustraendo opuesto

al sustraendo

Para restar dos monomios semejantes se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal:

3x2y + 2x2y – x2y = (3 +2)x2y – 1 x2y = 5 x2y – x2y = 4 x2y

7. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

El producto de varios monomios es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de los factores y cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes:

(2x2) • (3x) • (4x3) = (2 • 3 • 4) x2+1+3 = 24 x6

8. DIVISIÓN DE MONOMIOS

El cociente entre dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente entre los coeficientes del dividendo y el divisor y cuyo grado es la diferencia entre sus grados:

9. POTENCIA DE UN MONOMIO

Calcular la potencia de un monomio se reduce a calcular la potencia de un producto:

(-2x4)2 = (-2)2 • (x4)2 = 4 x8

10. ECUACIONES

Una igualdad se compone de dos expresiones matemáticas unidas por el sino igual.

La expresión que se encuentra a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo miembro.

Igualdad numérica: 2 + 3 + 5 = 10

Igualdad algebraica: 2x2 + x + 1 = 0

11. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Para resolver ecuaciones de primer grado, llamadas también ecuaciones lineales, se aplican los siguientes pasos:

1º. Quitar paréntesis y simplificar.

2º. Quitar denominadores (si los hubiera) y simplificar.

3º. Transposición de términos y simplificar.

4º. Despejar el coeficiente de la incógnita y simplificar.

Despejar la incógnita consiste en traspasar al otro miembro el coeficiente que acompaña a ésta; como está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa.

4x = 200

x = 50

La transposición de términos consiste en desplazar términos de un miembro a otro. Si están sumando pasan restando o viceversa. En un miembro se agrupan todos los términos con incógnita y en el otro todos los términos independientes.

X + 7 = 17

X = 17 – 7

X = 10

Quitar denominadores consiste en hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplificar.

m.c.m (4, 3) = 12

3x + 60 = 8x

-8x + 3x = - 60

-5x = -60

x = 12

Quitar paréntesis consiste en aplicar la propiedad distributiva.

2(x + 5) = 9x + 31

2x + 10 = 9x + 31

2x – 9x = 31 – 10

-7x = 21

x = - 3

12. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES

En general cuando nos enfrentamos con un problema los pasos que debemos seguir son:

1º. Comprender perfectamente, con una lectura detallada, el problema, teniendo claro que significan todos los datos y cada uno de los datos que nos están dando y qué es lo que nos piden.

2º. Para poder resolver el problema, que nos viene dado en lenguaje usual, tenemos que traducirlo a lenguaje matemático, esto es, escribir algebraicamente el problema en forma de ecuación de primer grado.

3º. Resolver la ecuación obtenida en dicha traducción.

4º. Analizar los resultados dados en el problema. Comprobando que los datos obtenidos satisfacen las condiciones del enunciado.

Ejemplo:

Buscar dos números pares consecutivos cuya suma sea igual a 14.

1º número par = 2x = 2 • 3 = 6

2º “ “ consecutivo = 2x + 2 = 2•3 + 2 = 8

2x + (2x + 2) = 14

2x + 2x + 2 = 14

4x = 14 – 2

4x = 12 ; x = 3

Sustituimos en

Los números que buscamos son : 6 y 8, si los sumamos nos dan 14

Problemas de edades

La edad del padre es triple que la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno, si ambas edades suman 72 años?

Edad del hijo = x edad del hijo = 18 años

Edad del padre = 3x edad del padre = 3 • 18 = 54

X + 3x = 72

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