Antiderivadas

ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

1. Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

2. Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como c constante real.

3. Integral indefinida.

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

f(x) dx y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x2 + C La integral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C

4x3 dx = x4 + C La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C

Leyendo la formula

Leemos la primera fórmula más arriba como sigue:

2x dx = x2 + C

La antiderivada de 2x, respecto a x, es igual a x2 + C

La constante de integración, C, nos recuerda que podemos añadir cualquiera constante y así obtener una otra antiderivada.

4. Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.

• Propiedades.

• Reglas de integración.

• Integrales inmediatas.

• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.

• Integración de funciones trigonométricas sencillas.

• Integración de funciones racionales sencillas.

PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS DE UNA FUNCIÓN.

Las propiedades de integrales indefinidas de una función se basan en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivada.

La Integral indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

* f y g son dos funciones definidas en un conjunto R de números reales

* Antiderivada.

* k es un número real.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Absolutos y relativos)

En la gráfica se pueden observar una serie de puntos donde el ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

También se puede definir de la siguiente manera:

Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:

a) Un máximo relativo si b) Un máximo absoluto si c) Un mínimo relativo si d) Un mínimo absoluto si

TRAZADOS DE CURVAS

5. CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Criterio de la primera derivada:

Se procede de la siguiente forma:

. Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante.

. Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Criterio de la segunda derivada:

Este procedimiento consiste en:

. Calcular la primera y segunda derivadas

. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

. Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

MONOTONÍA

* Función Creciente.

Si la función f(x) derivable en (a, b), entonces: f(x) creciente en

* Función Decreciente

Si la función f(x) derivable en [a, b], entonces: f(x) es decreciente en

Nota: La desigualdad estricta se cumple cuando f(x) es estrictamente creciente o decreciente.

CONCAVIDAD

Determinar el sentido de la curvatura de una función, para ello definamos los siguientes conceptos:

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a si

Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo.

Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia abajo en el punto a si

Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.

VALORES EXTREMOS

*

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