Análisis Combinatorio

Introducción

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar.

Los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos.

El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal

(1596 – 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades.

Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”.

El mayor impulsor de esta rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones.

Resumiendo, El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

1-¿principio fundamentales del análisis combinatorio?

I) Principio de multiplicación

Si un evento o suceso "A" puede ocurrir, en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es (m. n).

Ejemplo 1:

¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)

Solución:

Letras Dígitos

26 x 25 x 10 x 9 x 8

# Placas = 468 000

II) Principio de adición:

Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.

Ejemplo 2:

Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

Solución:

Aplicando el principio de adición se tiene:

Bote, lancha, deslizador

3 ó 2 ó 1

# Maneras = 3 + 2 + 1 = 6

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.

Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: Permutación, Variación y Combinación.

2-¿conceptualización y ejemplos de permutaciones, variaciones y combinaciones?

Permutaciones

Se llama permutación simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos grupos formados por k elementos de forma que:

Los k elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten)

• Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden).

• No se utilizan todos los elementos.

Al elegir un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de n-1 formas. Quitamos también este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas...

Ejemplo

3. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse:

P9, 3 = 9⋅8⋅7 =504

Por tanto, se pueden formar 504 números.

Variaciones

Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad. Dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado. La formula será:

Ejemplo: Una persona desea hacer una apuesta y selecciona los tres primeros lugares al finalizar la carrera. Si en ella participan 8 caballo, ¿Qué posibilidades existen para los tres primeros caballos?

(Suponiendo que no haya empate).

COMBINACIONES:

La combinación es un conjunto de elementos, sin que se preste atención a su orden ni a su arreglo. Una combinación de r elementos escogidos en un conjunto de n elementos es un subconjunto del conjunto de n elementos.

Por ejemplo, las combinaciones de las 3 letras a,b,c tomadas de 2 en 2 es ab,bc,ac, cualquiera de estas disposiciones es una combinación.

Obsérvese que ab y ba son una misma combinación (se prescinde del orden), de las letras a y b.

Por ejemplo, el número de saludos que pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una saluda una de las otras.

3-Clasificación de las permutaciones

Permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez

"Las ordenaciones o permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez es n! y se denotan con el símbolo:

Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra impureza?

Solución

Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5

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