Analisis Combinatorio Factoria

ANALISIS COMBINATORIO

Para la obtención de probabilidades de sucesos complejos, la enumeración de los casos resulta a menudo difícil. Para facilitar esta tarea es preciso utilizar los principios básicos de análisis combinatorio.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL

Si un suceso puede presentarse con cualquiera de n1 formas distintas y si cuando esto ha ocurrido otro suceso puede presentarse con cualquiera de n2 formas distintas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en el orden especificado en n1 n2

Ejemplo:

Si hay 3 candidatos de gobernador y 5 para alcalde.

Los dos cargos pueden ocuparse de 3 * 5 = 15 formas

FACTORIAL DE n

El factorial de n se denota por n! y se define por:

n! = n(n1) (n-2) … 1

Ejemplo:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

4! 3! = ( 4 x 3 x 2 x 1) (3 x 2 x 1) = 24 * 6 = 144

Se define 0! = 1

PERMUTACIONES

Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r es una ordenación de r objetos entre los n dados y atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r se representa por nPr , P(n,r) o Pn,r y viene dado por:

En particular, el número de permutaciones de n objetos tomados de n en es:

Ejemplo: El número de permutaciones de las letras a, b, c tomadas de dos en dos es:

El número de permutaciones de n objetos formado de grupos de los que n1 son iguales, n2 son iguales

Ejemplo: El número de permutaciones de letras en la palabra estadística es:

COMBINACIONES

Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r de los n objetos sin atender a la ordenación de los mismos. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se representa por nCr C(n, r), Cn,r o y viene dado por.

Ejemplo: El número de combinaciones de las letras a, b, c tomadas de dos en dos es

APROXIMACIÓN DE STIRLING A n!

Cuando n es grande el cálculo directo de n! es poco práctico. En tal caso, el valor de n! se obtiene a partir de una fórmula aproximada debida a Stirling que es:

Ejemplo: Hallar el valor de 50!

EJERCICIOS

1. Si un hombre compra un boleto de una rifa en la que puede ganar un premio de $ 5,000 y un segundo premio de $ 2,000 con probabilidad de 0.001 y 0.003 ¿Cuál sería el precio justo a pagar por el boleto?

Esperanza = (5000) (0.001) + (2000) (0.003) = 5

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