Analisis Combinatorio

Análisis Combinatorio

1.- Definición: Parte de la matemáticaque se encarga del estudio delosgrupos o conjuntos que se pueden formar con distintos elementos (objetos, letras, números, etc.) de modo que cada grupo formado se diferencie de otro por el número de elementos. Por las clases de elementos o por el orden de colocación en el análisis combinatorio en tres casos: variaciones, permutaciones, combinaciones.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION: Si el suceso A se puede realizar de M maneras y el suceso B se puede realizar de N maneras, entonces los sucesos A y B se pueden realizar en forma conjunta de m×n, siempre que se efectué uno después del otro.

Nota: Este principio se puede generalizar para más de 2 sucesos.

Ejemplo 1:

Un alumno tiene dos libros de física y una alumna tiene tres libros de química. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro?

Resolución:

Para su mejor compresión, hacemos el siguiente gráfico:

PRINCIPIO DE ADICION:Si el suceso A se puede realizar de M maneras y el suceso B se puede realizar de N maneras, entonces el suceso A o el suceso B se pueden realizar de m+n, maneras.

Nota: para quese cumpla el principio deadicción, se debe verificar que no sea posible que los sucesos A y B ocurran juntos.

Ejemplo 2: Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en microbús, si hay 3 rutas para el tren y 4 para el microbús. ¿De cuantas maneras tenemos que decidir nuestro viaje?

Para el viaje en tren: hay 3 maneras de llegar

Para el viaje en microbús: hay 4 maneras de llegar

N0 de maneras = 3+4 = 7

2.- Variaciones o arreglos: Variación es cada una de las ordenaciones que puedan formarse con varios elementos, tomando de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, etc., de modo que dos ordenaciones cualquiera del mismo número de elementos se diferencien, por lo menos en un elemento o por el orden en que están colocados.

Ejemplo: Dado A={a,b,c}⇒ 3 elementos

Si tomamos de 2 en 2, las variaciones serian:

{ab,ac,bc,ba,ca,cb}

Se toma en cuenta el orden, ya que no es lo mismoab que ba.

Si tomamos de 3 en 3, las variaciones serian:

{abc,acb,bac,bca,cab,cba}

Luego el número de variaciones está dado por la siguiente formula:

V_n^m=m(m-1)(m-2)…..(m-n+1)(m>n>0)

De otra forma:V_n^m = m!/(m-n)!

Donde:

m=⋕total de elemnetos de los ""m" elementos tomados de "n"en "n"

Ejemplos:

V_2^5=5!/(5-2)!=5!/3!=(3!×4×5)/3!=20

V_4^7=7!/(7-4)!=7!/3!=(3!×4×5×6×7)/3!=840

Dato:

V_n^m = m!/(m-m)!=m!/0!=m!/1=m!

Nota: Para las variaciones el orden de sus elementos, si interesa, ya que no es lo mismo decir 23 que 32, como se observara, estos dos númerosestán compuestos por las mismas cifras, pero en su valor son diferentes.

Ejemplo 3:

3 alumnos llegan a matricularse a una academia preuniversitaria que dispone de 5 aulas. ¿De cuantas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes?

RESOLUCION:

Sean las 5 aulas las que se muestran en la figura:

El primer alumno puede ocupar cualquiera de las 5 aulas, existiendo 5 posibilidades para tomarlo.

El segundo puede ocupar cualquiera de las 4 aulas que quedan por ocupar, existiendo para este alumno 4 posibilidades de tomarlo.

El tercer alumno puede ocupar cualquiera de las 3 aulas restantes, existiendo 3 posibilidades de tomarlo.

Luego: ⋕de maneras= 5×4×3=60

Por formula obtenemos: V_n^m=m!/(m-n)!

Dónde: m = 5 (total de elementos = 5)

n = 3 (alumnos)

Luego:V_3^5=5!/(5-3)!=5!/2!=(2!×3×4×5)/2!=60

3.- Permutaciones:Se llamapermutaciones a las variaciones en las que entran todos los elementos en sus diversas ordenaciones de modo que dos grupos cualesquiera contienen los mismos elementos y solamente difieren en el orden en que están colocados.

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