ANALISIS COMBINATORIO Principio de conteo

2.1 ANALISIS COMBINATORIO

La combinatoria es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar ningún elemento ni en contarlo más de una vez. Es muy frecuente que en un experimento aleatorio el espacio muestral (Ω) sea un conjunto finito y cada elemento de este conjunto tenga la misma probabilidad de ocurrir, es decir, que el espacio Ω sea finito y equiprobable.

2.1.1 Principio de conteo

Es si la cantidad de posibles resultados de un experimento es pequeña, resulta relativamente fácil contarlas.

Por ejemplo, existen seis posibles resultados del lanzamiento de un dado, a saber: del 1 al 6.

Sin embargo, si hay un número muy grande de resultados, tal como el número de caras y cruces en un experimento con 10 lanzamientos de una moneda, sería tedioso contar todas las posibilidades. Todos podrían ser caras, una cruz y nueve caras, dos caras y ocho cruces, y así sucesivamente.

Para facilitar se analizaran tres fórmulas para contar: la de multiplicación, la de permutaciones y la de combinaciones.

Formula dela multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay m X n formas de hacer ambas cosas; ejemplo: Si un distribuidor de automóviles quiere anunciar que por $29,000 usted puede comprar un convertible, un sedán de dos puertas o un modelo de cuatro puertas y elegir entre rines de rayos o planos. ¿Cuentas disposiciones de modelos y rines puede ofrecer el distribuidor?

Número total de posibles disposiciones = (m) (n)

Número total de posibles disposiciones= (3) (2)=6

2.1.2 Permutaciones

Se aplica para determinar el número posible de disposiciones cuando solo hay un grupo de objetos. La pregunta básica acerca del total de formas en que podemos poner en orden lineal (es decir uno detrás de otro y por lo tanto no hay repetición) n objetos distintos tiene como respuesta el factorial de n, denotado por n!=Pn y definido como sigue:

n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……3.2.1.

Ejemplo Si deseamos conocer el total de formas distintas en que podemos colocar una enciclopedia de 5 volúmenes en un librero, la respuesta es:

5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120.

El razonamiento es el siguiente: Cualquiera de los cinco libros puede ser colocado al principio, quedan cuatro libros por colocar en la segunda posición, restan entonces tres posibilidades para la tercera posición, etc. Por el principio multiplicativo la respuesta es entonces el producto de estos números.

Adicionalmente y por conveniencia 0!=1

De acuerdo al siguiente ejemplo: Hay tres piezas electrónicas que van a montarse en una unidad conectable a un aparato de televisión. Las piezas se pueden montar en cualquier orden. ¿De cuantas formas pueden montarse tres partes?

Tres piezas electrónicas =n=3    

Unidad conectable r= 3

Que es lo mismo a:

Variaciones

Vn,m = _ n!__                               

           (n-m)!

Variaciones con repetición

VRn,m =nm

2.1.3 Combinaciones

Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, cualquier selección se denomina combinación

C n,m=____n!___

          m!.(n-m)!

Combinaciones con repetición

C n,m= (n + m – 1)

                m

2.2 CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad refiere a la posibilidad de ocurrencia de un fenómeno, es decir una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra.

Es común que una probabilidad se expresa de forma decimal como 0.70, 0.25 o 0.50; no obstante también se da en forma de fracción, como 7/10, 5/20 o ½.

Ejemplo un meteorólogo anuncia que hay un 70% de probabilidad de lluvia para el domingo del Súper Tazón; es decir que hay una probabilidad de .70 ( es lo mismo = .70/1) de probabilidad de que llueva y un .30 de que no llueva.

2.3 ENFOQUE CLÁSICO Y DE FRECUENCIA RELATIVA.

Probabilidad clásica.- parte de un supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad del evento que pueda caer en número par de puntos al lanzar en un dado?

Hay tres resultados favorables (dos, cuatro y seis) en el conjunto de seis resultados igualmente posibles. Por lo consiguiente:

Probabilidad frecuencia relativa o probabilidad empírica: se basa en el número de veces que ocurre el evento como proporción del número de intentos conocidos.

Supongamos que lanzamos una moneda común. El resultado de cada lanzamiento es cara o cruz, la probabilidad empírica de las caras es cero o uno. Pero si la lanzamos de uno a diez:

Conforme incrementemos el número de intentos, la probabilidad empírica de que salga una cara varía de acuerdo al total de intentos que se realice.

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