ANALISIS COMBINATORIO PROBABILISTICO

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes:  El principio de adición  El principio de multiplicación

El principio de adición (o) Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras, luego:

El principio de multiplicación (y) (Conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio). Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de maneras m maneras distintas, entonces:

Ejemplos:

 Erika para ir a de su casa a la universidad lo hace tomando un solo microbus. Si por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de cuantas maneras diferentes, según el microbus que tome, llegara Erika a la universidad? Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 5 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses.

 Los alumnos de un colegio se comprometen a pintarlo por motivo de su aniversario. El primer piso lo harían los alumnos de un aula del 3º año, el segundo piso lo harían los alumnos de un aula de 4º año, el tercer piso lo harían los alumnos de un aula de 5º año. Si el colegio tiene 4 aulas de 3º año, 5 de 4º año y 6 de 5º año,¿de Cuántas maneras distintas, según las aulas que intervienen, podrá hacerse la distribución para el pintado del colegio?

Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro, originando un suceso compuesto.

Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo)

Nº de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n m 

Nº de maneras en que puede ocurrir A y B es: n m 

EJERCICIOS

1.Víctor desea viajar de Lima a Piura y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje?

2.¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 5 niños y 3 niñas?

3. Rosa posee 3 blusas distintas, 2 pantalones diferentes y 4 pares de zapatos diferentes. ¿De cuantas maneras distintas puede vestirse utilizando las prendas mencionadas?

4.Carlos lleva al cine a María y a sus 3 hermanos y encuentra 5 asientos libres en una fila. ¿De cuantas maneras diferentes podrán sentarse si a la derecha e izquierda de Carlos esta un hermano de María?

5.¿De cuantas maneras se pueden acomodar 4 alumnos en una fila de 5 asientos si dos de ellos están juntos?

6.¿Cuántos números de 4 cifras existen tal que el producto de sus cifras centrales es par y el producto de las cifras extremas, impar?

7.¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica pueden formarse con 5 chicos y 8 chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas en particular?

8.¿De cuantas maneras diferentes se puede distribuir cuatro camisas de diferente color en tres cajones distintos?

9.¿Cuántos números de 10 cifras de base 6 existen tal que el producto de sus cifras es 30?

ANÁLISIS COMBINATORIO

FACTORIAL DE UNA NÚMERO Los productos 1 2 3 4    y 1 2 3 4 5 6 7       se pueden simbolizar como 4! y 7!, respectivamente, los cuales se leen como factorial de 4 y factorial de 7, tal que: 4! 1 2 3 4     ; 7! 1 2 3 4 5 6 7       

Ejemplo: 5! 1 2 3 4 5      6! 1 2 3 4 5 6      

COMBINACIÓN Y PERMUTACIÓN Si tenemos tres fichas A B C . Al escoger dos de ellas tenemos los siguientes:       La combinacion de 3 elementos tomados de 2 en 2 es: 3 A B A C B C 

Ejemplo 1: A una reunión acuden 10 personas. Si se saludan con apretones de manos entre ellos, ¿Cuántos apretones se producen?

Resolución: Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.

10 2

10! 9 10 º 45 2!8! 2 N apretones C     

Ejemplo 2: Uniendo 3 vértices de un hexágono regular, ¿Cuántos triángulos diferentes se obtienen?

Resolución: Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.

6 3

6! 4 5 6 º 20 3!3! 1 2 3 N triángulos C        

Si de las 3 fichas mencionadas al principio escogemos 2 y las ordenamos en filas; se tendría lo siguiente:             Hay 6 maneras de ordenar 3 elementos tomándolos de 2 en 2. Cada uno de ellos, es una permutación. A B B A A C C A B C C B 

El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se simboliza por m nC y se calcula del modo siguiente:   ! ! ! m n m C n m n  

Se llama factorial de n   n
al producto de todos los enteros desde 1 hasta n y se simboliza por : ! n o n . ! 1 2 3 ...n n n     

FACTORIALES DE LOS PRIMEROS NÚMEROS NATURALES   0! 1 por convensión  1! 1  2! = 1×2 = 2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5!=1×2×3×4×5=120 6!=1×2×3×4×5×6=720 7!=1×2×3×4×5×6×7=5040

Propiedad    ! 1 ! 1n n n n   

Ejemplos: 5! 4! 5   10! 9! 10  

m m n m nC C 

Ejemplos: 7 7 52C C 8 8 6 2C C

NÚMERO COMBINATORIO m nC En forma practica:     1 2 .... 1 2 3 ... m n m m m m n C n       

5 3

3 4 5 1 2 3

C

 



 

8 5

8 7 6 5 4 1 2 3 4 5

C

   



   

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS

0 1 2 ... m m m m mC C C C    

Ejemplos: 33 3 3 3 0 1 2 3 2C C C C    4 4 4 4 4 40 1 2 3C C C C C    

Ejemplo 3: ¿De cuantas maneras diferentes se puede acomodar 4 personas en una fila de 4 asientos?

Resolución: ºN formas 

Ejemplo 4: ¿De cuantas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano de modo que no estén en el mismo dedo? ºN maneras 

Permutaciones con repetición

Con las cifras 6, 6, 9, 9 se pueden formar los siguientes números de 4 cifras.

.

Hay 6 maneras de permutar las cifras 6 y 9. Cuatro elementos de los cuales el 6 se repite 2 veces y 9 veces 6699, 6969, 6996, 9669, 9696, 9966 

Ejemplo 5: ¿De cuantas maneras se pueden permutar las letras de la palabra LATA?

ºN maneras 

Se llaman permutaciones con repetición de n elementos, donde el

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