ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO.
Enviado por omar0118 • 5 de Abril de 2016 • Documentos de Investigación • 3.268 Palabras (14 Páginas) • 668 Visitas
ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO
Introducción
El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an
Algunos ejemplos ilustran lo anterior:
- Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?
- De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 maquinas distintas?
- Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?
Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación
FACTORIAL DE UN NUMERO n
La expresión n! se le llama n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:
n! = n(n-1) (n-2)….. (1)
Ej: 5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
Propiedades:
0! =1
n! = n(n-1)!
n! = n(n-1) (n-2)
Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:
- Variaciones
- Permutaciones
- Combinaciones
- Variaciones :
Dado el conjunto de n elementos [pic 1]se llaman variaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos variaciones son diferentes cuando:
i) Tienen al menos un elemento diferente entre ellas o
ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.
Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:
(Juan, Pedro, José, Joe y Erik) será diferente del equipo
(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?
Un vehículo de (19) millones es lo mismo que un vehículo de (91) millones?
Ejemplo:
Sea el conjunto [pic 2], cuantas variaciones de orden dos se pueden obtener?
Variaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6
También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)
1.1 Cálculo de las variaciones sin repetición:
Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.
[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8] V(n, r) = n! / (n-r)! r [pic 9] n
1.2 Calculo de las variaciones con repetición:
V` (n, r) = nr
Ejemplos:
- Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?
Haciendo n = 9 y r= 4 se tiene que:
V (9,4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 3024 números
- Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?
n = 9; r = 4 [pic 10] V´ (9,4) = (9)4 = 6561 números
- El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras
- Cuantas placas posibles pueden hacerse?
- Si los números pueden repetirse y las letras no?
- Si los números no pueden repetirse y las letras si?
- Si los números y las letras no pueden repetirse?
- Si la placa siempre inicia con la letra B……….R/
- Si las dos primeras letras son siempre AC y el primer número es el 8….R/
- Si la letra del centro es siempre H y el número final es siempre el 5…..R/
- Si solo dos letras pueden repetirse.
Solución:
Asumiendo 26 letras de nuestro alfabeto se tiene:
- Una placa puede ser [pic 11] o también [pic 12]
Así las letras se obtiene a través de VARIACIONES CON REPETICION: V`(26,3) = 263 = 17576
De la misma forma para los números: V´ (10,3) = 103 = 1000 números
Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 17576 x 1000 = 17.576.000
- Para los números V´(10,3) = 10 3 = 1000
Como las letras no pueden repetirse entonces es una variación sin repetición:
V (26,3) = 26! / (26-3)! = 15600
Por el principio de multiplicación: 1000 x 15600 = 15.600.000 placas.
- Dado que los números no pueden repetirse, entonces:
V (10,3) = 10! / (10-3)! = 101 / 7! = 720
Para las letras V´ (26,3) = 263 = 17576
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