CALCULO Máximos y Mínimos

                                                                                                                                              [pic 1]

Gómez Villegas Marco Antonio

Grupo 411

Comunicación

Matemáticas IV

Máximos y Mínimos

Universidad ICEL

Máximos y Mínimos

Los máximos o mínimos de una función o también conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado, ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Definición: Sea C un punto en el dominio S de la función f. Decimos que:

a) f (c) es el valor máximo de f en S si: f (c) > f (x) Para toda “x” que pertenezca a S .

b) f (c) es el valor mínimo de f en S si: f (c) < f (x) Para toda “x” que pertenezca a S .

c) f (c) es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.

Deducimos si es máximo o mínimo estudiando el crecimiento y decrecimiento.

Máximo local -> creciente – decreciente. En ese valor x donde f ’ (x) = 0 hay un máximo.

Mínimo local -> decreciente – creciente. En ese valor x donde f ‘ (x) = 0 hay un mínimo.

Los máximos y mínimos son puntos (x,y). Para calcular la coordenada “y” de los máximos y mínimos sustituimos el valor x en la función.

X = 1 -> creciente – decreciente => máximo local => f(1) = 8 = Coordenadas (1,8)

X= 3 -> decreciente- creciente => mínimo local => f(3) = 4 = Coordenadas (3,4)

[pic 2]

Pasos para máximos y mínimos        

1-. Primero se debe definir la función que describa el problema.

2-. Derivar la función.

3-. Igualar la derivada a 0 y encontrar las soluciones.

4-. Sustituir los valores encontrados en la función original (la que se encontró en el paso 1)

5-. Una vez encontrado este valor, ocupando la segunda derivada de la función, determinas si los valores encontrados son máximos o mínimos.

Ej. f(x) = x3 − 3x + 2

f'(x) = 3x2 − 3 = 0      x = − 1      x = 1

Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 < 0       Máximo

f''(1) = 6 > 0            Mínimo

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

Aplicación en los negocios

La teoría de la optimización tiene dos parámetros básicos: las funciones máximos y mínimos. Éstas presentan los mayores y últimos valores, respectivamente, que se pueden computar en una función. Los máximos y mínimos tienen un gran significado en el mundo de los negocios. Todas las empresas utilizan las funciones de máximos para sus beneficios, ventas y ganancias y las de mínimos para acortar costos y pérdidas.

...