CARTAS CUSUM Y EWMA

CARTAS CUSUM Y EWMA (Detección oportuna de cambios pequeños)

ARL (Longitud promedio de corrida)

• Es el número de puntos en promedio se debe graficar en la carta para detectar una señal fuera de control.

Carta CUSUM

• Esta carta fue propuesta originalmente por Page (1954). Se grafica la suma acumulada de las desviaciones de la media global o respecto al valor nominal de la característica de interés. Si no está centrado en su valor nominal se utilizan las desviaciones respecto a la media global estimada. Sean x1, x2, x3,…, xm las medidas observadas en m subgrupos y sea  la media global estimada. Entonces, en los primeros m puntos de inspección sobre la carta CUSUM se grafican las sumas acumuladas

Carta CUSUM

S1=( X1- µ)

S2=(X1- µ)+ (X2-µ)

Sm=(X1-µ)+(X2-µ)+….+(Xm-µ)=⅀(Xi-µ)

i=1

Carta CUSUM

• Existen dos maneras de construir esta carta: La CUSUM de dos lados con un dispositivo especial llamado máscara y la CUSUM tabular o de un solo lado, es de manera separadas las sumas acumuladas por arriba y las sumas acumuladas por abajo

CUSUM de dos lados (con máscara)

• Es la suma acumulada tanto desviaciones positivas como negativas. Se conoce como un dispositivo especial llamado máscara.

• Las sumas acumuladas S1, S2, …, Sm definidas antes son las que se grafican en la CUSUM original que se interpreta con máscara.

• Máscara de la CUSUM.

Dispositivo en forma de V diseñado para interpretar la CUSUM de dos lados.

CUSUM tabular (de un solo lado)

• Una tabla que se despliega la suma de las desviaciones hacia arriba separada de la suma de las desviaciones hacia abajo. Dichas sumas se definen en el punto i como:

SH (i)=max {0,Xi-(µ0+k)+SH (i-1)}

SH (i)=max{0,(µ0 –k)-Xi +SL (i-1)}

Carta EWMA (Medidas Móviles

Exponencialmente Ponderadas)

• Gráfica la suma ponderada de las medidas de los subgrupos observados hasta el tiempo de inspección, que, fue propuesta por Roberts en 1959

Carta EWMA

• Grafica al tiempo t en la carta, dado por la formula recursiva

Zt =ƛXt +(1-ƛ)Zt-1

Donde Z0= X es el valor nominal

El parámetro ƛ determina la profundidad de la memoria de la EWMA

Carta EWMA

Var(Zt )=(σ^2 )/n(ƛ/(2-ƛ)){1-(1-ƛ)2t }

Donde n es el tamaño del subgrupo. El termino entre corchetes tiende a 1 cuando t se incrementa, de manera que la varianza Zt se incrementa hasta llegar a

Var(Zt )=(σ^2 )/n(ƛ/(2-ƛ))

Carta EWMA

• Los límites de la carta EWMA se van abriendo en los primeros puntos hasta estabilizarse en

LCS=X+3σ√(ƛ/█(n(2-ƛ)@))

LCI=X-3σ√(ƛ/█(n(2-ƛ)@))

Uso de STATGRAPHICS

• En Statgraphics se

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