CUATERNIONES

CUATERNIONES

VELAZQUEZ MEXICANO ABRAHAM

ESTADO TECNICO

Teoría de las funciones conjugadas, o parejas algebraicas: con un ensayo preliminar sobre el álgebra como ciencia del tiempo puro, puede ser considerada como el primer intento de Hamilton de encontrar un álgebra que englobara un conjunto de axiomas basados en el "orden y progresión continua, o, del tiempo puro".

Por analogía con los números complejos, al principio Hamilton consideró sus tripletas con la expresión a+bi+cj, donde a, b, y c eran números reales , y i^2=j^2=-1. La suma de estas expresiones no presentaba ninguna dificultad; estas eran sumadas, sumando cada uno de los coeficientes "escalares" de cada una de las unidades i y j.

Sin embargo Hamilton se topó con una dificultad seria al intentar definir al producto de tripletas, ya que estas no guardaban las propiedades comunes de los números complejas. El módulo de un número compleja a+bi resulta a^2+b^2, de manera que el producto del módulo de dos números complejos resulta ser el módulo del producto de los dos números (lo que Hamilton denominó ley de los módulos).

〖(a+bi+cj)〗^2=a^2-b^2-c^2+2abi+2acj+2bcij

cuyo cuadrado resultaba:

〖(a^2-b^2-c^2)〗^2+(2〖ab)〗^2+(2a〖c)〗^2+(2b〖c)〗^2=(a^2+b^2+c^2 )^2+(2b〖c)〗^2

La ley de módulos no se satisfacía a menos que los términos ij fueran simplificados de la expansión de 〖(a^2-b^2-c^2)〗^2 . El término debe o bien suprimirse estableciendo ij=0, o incluyéndolo en alguno de los otros tres términos, hasta que se expreso la siguiente idea llamada cuaterniones, la cual concluiría la expresión.

INTRODUCCION

Los cuaterniones fueron introducidos por W. R. Hamilton en 1843, después de que él y otros matemáticos como Wessel, Gauss, Argand, Mourey y Servois buscaron por muchos años un sistema numérico que describiera puntos del espacio tridimensional en forma similar a como los números complejos describen puntos del plano [1,2]. Los cuaterniones son números hipercomplejos de la forma a+bi+cj+dk, donde a, b, c, d son números rales y las tres unidades imaginarias i,j,k tienen cuadrado igual a -1:

i^2=j^2=k^2=-1

y además:

ij=k=-ji jk=i=-kj ki=j=-ik

ROTACION CON CUATERNIONES

CONCLUSIONES

Los cuaterniones permiten representar rotaciones con menos parámetros que las matrices de rotación. También permiten la representación de traslaciones. Debido a que su manejo computacional demanda menos memoria que las matrices de transformación homogéneas, son una herramienta matemática común en la implementación de algoritmos de control de robots.

REFERENCIAS

http://www.eudim.uta.cl/rmendozag/courses/fundamentos_robotica/lectures/05-cuaterniones.pdf

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/hamilton_y_el_descubrimiento_de_los_cuaterniones.pdf

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