Calclo Integral

Área de una región plana y aplicaciones en ingeniería ambiental

Notación Sigma

Área

Área de una región plana

Cálculo del Área como límite

Integral definida

Ejemplo

Aplicación del tema

PUBLICADO POR LAURA ESTEFANÍA BAUTISTA TOVAR - LUISA FERNANDA SALINAS VELANDIA EN 21:08 NO HAY COMENTARIOS:

Ejemplo

En éste video vemos una explicación paso a paso del cálculo del área de una regiòn bajo la curva, su gráfica, valores, etc mediante la integral definida.

Solo nos queda por ver un ejemplo de estos cálculos en nuestra carrera de ingeniería ambiental.

Aplicacion a la carrera

PUBLICADO POR LAURA ESTEFANÍA BAUTISTA TOVAR - LUISA FERNANDA SALINAS VELANDIA EN 8:07 1 COMENTARIO:

Integral Definida

Del tema anterior vimos que al hacer tender el valor de n al infinito podemos calcular el valor real del área que buscamos, esto corresponde a la integral definida, es decir, la integral como un límite. pero es necesario formalizar estas definiciones por lo que:

Sea F definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea delta una partición de [a,b] dada por

donde el delta de x es la longitud del í-esimo subintervalo. si c1 es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la suma:

de donde partimos para la definición de la integral definida:

Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite:

Entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota como:

Este límite se conoce como la integral definida de f entre a y b. el numero a se llama límite inferior de integración y el numero b se llama límite superior de integración.

una vez hemos formalizado todo lo que hemos expresado anteriormente respecto al área es interesante definir las propiedades que cumplen este tipo de integrales y dar una definición más formal del area bajo la curva como la integral definida:

la integral definida como área de una región:

si f es contínua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x =a y x=b viene dada por:

y las propiedades que cumplen son:

En el próximo post veremos un video explicativo en donde encontraremos un ejemplo claro y detallado del cálculo de áreas mediante la integral definida.

continúa en Ejemplo

PUBLICADO POR LAURA ESTEFANÍA BAUTISTA TOVAR - LUISA FERNANDA SALINAS VELANDIA EN 7:28 NO HAY COMENTARIOS:

Cálculo del Área como límite

Generalizando el proceso realizado anteriormente se puede generalizar de la siguiente manera:

Si consideramos una región plana acotada por la grafica de una función y = f(x) siendo esta una función contínua y no negativa como en la figura de arriba, acotada tambien por el eje x y lateralmente por las rectas x = a y x = b podemos aplicar:

Dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud ∆x = (b-a)/n sus puntos terminales son:

Al ser f(x) contínua, el teorema de valores extremos asegura que exista un mínimo y un máximo de f(x) en cada sub intervalo. siendo:

Teniendo las 2 siguientes sumas:

de como lo vimos anteriormente, la suma por defecto es inferior a la suma por exceso, por lo que nuestra área real debajo de la función debe estar comprendida entre ambos valores de las sumas por defecto y por exceso.

Y si adicional a esto, hacemos que n (n = numero de particiones del segmento [a,b]) sea cada vez mayor, tendremos un área más aproximada, de lo cual podemos deducir que si hacemos que n tienda a infinito, entonces tendremos que:

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a,b]. el área de la región limitada por la graica de f, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es:

siendo ∆x = (b-a)/n

Continúa en integral definida

PUBLICADO POR LAURA ESTEFANÍA BAUTISTA TOVAR - LUISA FERNANDA SALINAS VELANDIA EN 6:43 NO HAY COMENTARIOS:

Aplicación del tema

En la Ingeniería Ambiental es de utilidad el “área bajo la curva” para diagnósticos de controles

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