Calculo Integral

Curso 2000/2001

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Javier Martínez del Castillo Tema 5 Pág. 1 de 16

Tema 5: Aplicaciones de la integral

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden

tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,

lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al

estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

1. Cálculo de áreas planas

Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.

Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o

nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno

de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.

Ejemplo 1 :

a) Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 2 , el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 .

b) Hallar el área de la región limitada por la curva y = x 3 - 3x 2 - x + 3 y el eje OX en el intervalo

[1,3].

c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX , en el intervalo [0,2p ].

Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el

área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos

el siguiente resultado :

Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en [a, b] y se verifica

que g(x) £ f (x) "x Î[a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas

verticales x = a y x = b , es :

A [ f x g x ] dx

a

b

= ò ( ) - ( ) n

Observaciones:

a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g

sean continuas y de que g(x) £ f (x) .

b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del ejeOX .

c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) £ f (x) y otras veces que f (x) £ g(x) ,

entonces el área de la región comprendida entre f y g sobre el intervalo [a, b], viene dado por la

fórmula:

A f x g x dx

a

b

= ò ( ) - ( ) ,

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En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de f y g ,

calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada.

Ejemplo 2:

a) Hallar el área de la región limitada por f (x) = x 2 y g(x) = x .

b) Hallar el área de la región limitada por f (x) = x 2 y g(x) = x 3 .

c) Hallar el área de la región limitada por f (x) = x 2 , g(x) = -x + 2, y el ejeOX .

d) Hallar el área de la región limitada por f (x) = x 2 + 2 , g(x) = -x en [0,1].

e) Hallar el área de la región limitada por f (x) = 3x3 - x 2 -10x y g(x) = 2x - x 2

Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez

de la variable x. ,

Ejemplo 3: Hallar el área de la región limitada por la gráfica de y 2 = 3- x e y = x -1.

2. Cálculo de volúmenes

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral

definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido

tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región

tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce

como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de

producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o

al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

2.1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de

ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a

uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:

Volumen del disco = pR2w

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,

consideremos una función continua f (x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las

rectas x = a , x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido

de revolución.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al

realizado en la definición de integral definida.

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Elegimos una partición regular de [a,b]:

a x x x x b n n = < < < < = 0 1  -1

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo

en cuenta que el volumen de un disco es pR2w , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un

volumen aproximado del sólido es:

p f c x x i i i

i

n

2

1

1

( ) ( - - )

= å

siendo:

¨ c x x i i i Î ( - , ) 1

¨ w= - x x - i i1 , la altura (anchura) de los cilindros parciales

¨ R f ci = ( ) el radio de los cilindros parciales

Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es

decir:

V Lim

n

=

®¥

p f c x x i i i

i

n

2

1

1

( ) ( - - )

= å

Por tanto, recordando la definición

...