Calculo Numerico

CÁLCULO NUMÉRICO

La representación gráfica de datos experimentales facilita en muchas ocasiones encontrar la relación matemática entre las magnitudes graficadas, y establecer una ley. En algunos casos la gráfica en si sustituye a la ecuación que representa en el proceso de predicción del valor que tomará una magnitud bajo ciertas condiciones. La interpolación y la extrapolación permiten dicha predicción aun para puntos que no representan datos experimentales.

Métodos Gráficos:

El método gráfico se utiliza para resolver cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas esta es la de una función de primer grado, es decir, una recta. Este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde.

Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta).

Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado.

Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución.

Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.

Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades:

Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Ejemplo: Entre Valeria y Sebastian tienen 600bsf, pero Sebastian tiene el doble de bolívares que Valeria. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Llamemos x al número de bsf de Valeria e y al de Sebastian. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600bsf, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sebastian tiene el doble de bsf que Valeria, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600

y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600 y = 2x

x y x y

200 400 100 200

600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Valeria tiene 200bsf y Sebastian tiene 400bsf.

Método de Promedios.

Es un método de búsqueda incremental, donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre el cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la función cambie de signo sobre el intervalo.

Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia).

3. La primera aproximación se determina con la fórmula:

4. Se evalúa el producto de f(X1)xf(Xr).

Si f(X1)x f(Xr) < 0 --- la raíz está en el 1er subintervalo --- Xu = Xr

Si f(X1)x f(Xr) > 0 --- la raíz está en el 2do subintervalo --- X1 = Xr

Si f(X1)x f(Xr) = 0 --- la raíz es Xr

5. Se determina el error verdadero y el error.

Grafica: Método de Promedios.

Métodos de Mínimos Cuadrados:

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal:

y = ax + b

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y.

De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados.

El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

Donde n es el número de medidas y  representa la suma de todos los datos que se indican.

Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un

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