Calculo Numerico

Deducción de datos ejercicio 12.20

Datos constantes: Flujos volumétricos del aire puro

Datos variables: Mezcla de flujos volumétricos de aire entre las parillas y de los fumadores al ser despreciable indica que no permanece constante.

Ecuaciones:

Balance 1:

0=Wf+QaCa-QaC1+E(C3-C1)

Balance 2:

0=QbCb+(Qa)/2*C4-QcC2+E(C4-C2)

Balance 3:

0=Wp+QaC1+E(C1-C3)+E(C4-C3)-QaC3

Balance 4:

0=QaC3+E(C3-C4)+E(C2-C3)-QdC4-(Qa)/2

Donde Qc=Qb+Qa/2

Y

Qd=Qa/2

Enunciado del ejercicio12.20

En la figura P. 12.20. Vista de arriba de las áreas en un restaurante. Las flechas en un solo sentido representan flujos volumétricos de aire, mientras que las de dos sentidos indican mezclas difusivas. Las cargas debidas a los fumadores y o a la parrilla agregan masa de monóxido de carbono al sistema pero con un flujo de aire despreciable.

Qc=150m3/hr Qd=100m3/hr

Cb=2mg/m3

Qb=50m3/hr

Cb=2mg/m3

Qc=150m3/hr

Carga por

fumadores

(1000 mg/hr)

Carga por la parilla

(2000 mg/hr)

Teorema del método de factorización LU

La factorización LU

Supongamos que A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U:

A = LU (1)

En este caso, el sistema de ecuaciones dado por podría representarse en la forma:

LUx=b (2)

Si denominamos z a la matriz columna de n filas resultado del producto de las matrices Ux, tenemos que la ecuación (2) se puede reescribir del siguiente modo:

Lz=b (3)

A partir de las ecuaciones (2) y (3), es posible plantear un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones empleando dos etapas:

• Primero obtenemos z aplicando el algoritmo de sustitución progresiva en la ecuación (3).

• Posteriormente obtenemos los valores de x aplicando el algoritmo de sustitución regresiva a la ecuación

Ux = z

El análisis anterior nos muestra lo fácil que es resolver estos dos sistemas de ecuaciones triangulares y lo útil que resultaría disponer de un método que nos permitiera llevar a cabo la factorización A=LU. Si disponemos de una matriz A de n x n, estamos interesados en encontrar aquellas matrices:

Tales que cumplan la ecuación (1). Cuando esto es posible, decimos que A tiene una descomposición LU. Se puede ver que la ecuación anterior no determina de forma única a Ly a U. De hecho, para cada i podemos asignar un valor distinto de cero a lii o uii (aunque no ambos).

Por ejemplo, una elección simple es fijar lii=1 para i=1, 2,…,n haciendo de esto modo que L sea una matriz triangular inferior unitaria. Otra elección es hacer U una matriz triangular superior unitaria (tomando uii=1 para cada i).

Para deducir un algoritmo que nos permita la factorización LU partiremos de la fórmula para la multiplicación de matrices:

(4)

En donde nos hemos valido del hecho de que lis=0 para s >i y usj=0 para s>j.

En este proceso, cada paso determina una nueva fila de U y una nueva columna de L. En el paso k, podemos suponer que ya se calcularon las filas 1, 2,…, k-1 de U, al igual que las columnas 1, 2,…, k-1 de L. Haciendo i=j=k en la ecuación (4) obtenemos

(5)

Si

...