Calculo integral

Unidad IV curso de calculo integral Instituto Tecnologico de Tepic

4.1 Definición de serie

En matematicás, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el índice final de la serie. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesión que se muestra a continuación:

El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: NR

Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

4.1.1 Finito

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

4.1.2 Infinito

Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de limite en el que se consideran sucesiones.

Suponga que asociada a la sucesión

U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por

U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto es, ¿Qué debe entenderse por la “suma” de n número infinito de términos, y en qué circunstancias dicha suma existe?

Teorema

Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita

1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/(2˄(N-1))

Como se inicio con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.

A partir de la sucesión

U1, U1, U3,…, Un,…

Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):

S1=U1

S2=U1+U2

S3=U1+U2+U3

S4=U1+U2´+U3+U

…

Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un

L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una secesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita

Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un

Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita

Para un ejemplo presiso relacionado con el tema se sugiere el siguiente video instructivo:

4.2 Serie numerica y convergencia

*La serie armonica es la serie

La serie armónica es divergente

* Una serie añternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

*Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

que cumple que

=

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.

• si L > 1, entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma infinita’ tiene sentido:

La serie converge si lo hace su sucesion de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su termino general.

De la definicion y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero finito de terminos al principio de una serie, no se altera su caracter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferiran de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente

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