Capacidad Eléctrica Y Condensadores

Capacidad eléctrica y condensadores.

Capacidad eléctrica de un conductor

Se define como el cociente de la carga neta contenida en el conductor y el potencial que este adquiere.

Un conductor tiene la capacidad limitada para adquirir carga.

La capacidad de un conductor es independiente de la carga y el potencial, solamente depende de las propiedades geométricas del conductor.

La capacidad eléctrica de un conductor se mide en Faraday (F).

1mF ≡ 1 X 10-6 F

1nF ≡ 1 X 10-9 F

1 pF ≡ 1X 10-12

C=Q/V = carga/potencial

Ej.: Calcular la capacidad eléctrica de un conductor esférico de radio R.

V=∫_∞^R▒〖E dl〗

E=1/(4πε_0 ) . Q/r^2

dl= -d_r

V= - ∫_∞^R▒Q/(4πε_0 ) . d_r/r^2 = Q/(4πε_0 ) .├ (1/r)┤|_∞^R

V=Q/(4πε_0 R)

C=Q/(Q/(4πε_0 R))

C=4πε_0 R

Condensadores o Capacitores

Un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores separados por una distancia determinada los cuales pueden ser cargados desde el exterior con cargas iguales en modulo pero con signos contrarios. Los conductores se conocen como placas. Debido a la presencia de las cargas existe una diferencia de potencial ∆V entre los conductores y esta suele ser llamada voltaje puesto que la unidad de diferencia de potencial es volt.

El propósito de estos dispositivos es almacenar energía eléctrica en el campo eléctrico que se puede crear entre las placas o entre los conductores.

Los condensadores tienen una capacidad limitada.

La capacidad del condensador se define como el cociente de la carga del condensador y la diferencia del potencial entre las armaduras del condensador:

c=q/∆v=carga/voltaje [Faraday]

La capacidad del condensador no depende de la carga ni del voltaje, solamente depende de la configuración geométrica del mismo (forma de los conductores).Se ilustra esto con tres figuras geométricas familiares es decir, placas paralelas, cilindros concéntricos y esferas concéntricas.

Un condensador es fácil de construir pero se debe procurar que las armaduras no se toquen para ello habría que poner un aislante entre ellos.

Símbolo de capacitor de capacidad fija (no importa donde se conecte el + o el -)

Símbolo de capacitor de polaridad fija (Un lugar debe ser específicamente para el + y otro para el – de lo contrario explotaría).

Símbolo de capacitor variable o sintonizador (Para variar la frecuencia).

La carga del condensador es el modulo de la carga que posee cualquiera de los dos conductores.

La ∆v debe ser aquella ∆v que de positiva o bien su valor absoluto.

Cálculo de la capacidad de un condensador de placas paralelas.

Un capacitor de placas paralelas consta de dos placas conductoras paralelas, cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando el capacitor se carga, las placas transportan iguales cantidades de carga. Una placa conduce carga positiva, y la otra carga negativa.

σ=q/A E=σ/ε_0

ΔV= - ∫_c▒□(□(→┬E ).dl)

ΔV= ∫_c▒Edl

ΔV= ∫_c▒σ/ε_0 dl = σ/ε_0 ∫_c▒dl = -σ/ε_0 ∫_d^0▒dx = -σ/ε_0 (0-d)

dl= -dx

ΔV= σ/ε_0 d

C=Q/ΔV = σA/(σ/ε_0 d)

C= (ε_0 A)/d

Es decir la capacidad de de un condensador de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcionalmente a la separación de esta.

Ejemplo 1:

Un capacitor con aire entre sus placas paralelas tiene un área de placa de A= 2.00x10-4 m2 y una separación entre las placas d= 1.00mm. Determine el valor de su capacitancia.

Solución: De la ecuación 4.3, encontramos que

C=(ϵ_0 A)/d=((8.85x〖10〗^(-12) C^2/N.m^2)(2.00x 〖10〗^(-4) m^2))/(1.00 x 〖10〗^(-3) m)

=1.77 x 〖10〗^(-12) F =1.77pF

Capacitores cilíndricos y esféricos.

A partir de la definición de capacidad de un condensador (capacitancia) es posible, en principio, encontrar la capacitancia de cualquier arreglo geométrico de conductores. Los siguientes ejemplos demuestran el uso de esta definición para calcular la capacitancia de las otras geometrías familiares que se han mencionado: cilindros y esferas.

Ejemplo 2:

Un conductor cilíndrico sólido de radio a y carga Q está colocado en forma coaxial a un cascarón cilíndrico de espesor despreciable, de radio b>a, y con una carga –Q. Determine la capacitancia de esté capacitor cilíndrico, si su longitud es igual a l.

Solución: Resulta difícil aplicar recursos físicos a esta configuración, aunque razonablemente podemos esperar que la capacitancia sea proporcional a la longitud l del cilindro, por la misma razón por la que la capacitancia entre las placas paralelas es proporcional al área de una de las placas: las cargas almacenadas tienen un sitio mayor donde distribuirse. Si suponemos que l es mucho mayor que a y b, podemos despreciar los efectos en los extremos. En este caso, el campo eléctrico es perpendicular al eje mayor de los cilindros y está confinado a la región entre ellos. Primero tendremos que calcular la diferencia de potencial entre ambos cilindros, dada en general por:

V_b-V_a=-∫_a^b▒〖E.ds〗

Siendo E el campo eléctrico en la región existente entre los cilindros. Aplicando la ley de Gauss, que la magnitud del campo eléctrico de una distribución de carga cilíndrica con una densidad de carga lineal λ es E=2k_e λ/r y la carga del cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico en su interior. Con este resultado y observando la figura encontramos que E está a lo largo de r, encontramos que:

V_b-V_a=-∫_a^b▒〖E_r dr= -2k_e λ ∫_a^b▒〖dr/r= -2k_e λln(b/a) 〗〗

(b)

(a) Un capacitor cilíndrico está formado por un conductor cilíndrico solido de radio a y de longitud l, rodeado por un cascaron cilíndrico coaxial de radio b. (b) Vista axial. Las líneas del campo eléctrico son radiales. La línea punteada representa el extremo de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y de longitud l.

Tomando en consideración el hecho que λ=Q/l , obtenemos:

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