Combinaciones y permutaciones.

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

taller

1.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?

Número de rutas para llegar a la autopista: N1 ═ 3

Número de rutas para llegar al centro de la ciudad: N2 ═ 3

Número de rutas para llegar al parqueadero: N3 ═ 4

Aplicando el principio de la multiplicación tenemos:

N1 X N2 x N3═ (3) (3) (4) ═36

Por lo tanto se pueden realizar 36 rutas distintas para llegar de la casa al parqueadero.

2.- En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un

postre?

Tipos de sopa: N1 ═ 3

Tipos de carne: N2 ═ 4

Tipos de bebida: N3 ═ 4

Tipos de postre: N4 ═ 2

Aplicando el principio de la multiplicación tenemos:

N1 X N2 x N3 x N4 ═ (3) (4) (4) (2) ═96

Un comensal puede elegir su menú de 96 maneras diferentes.

3.- Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿qué libertad le queda a ese jugador?

7! ═ 7X6X5X4X3X2X1═ 5.040

Que es lo mismo que:

Siete permutado siete, es decir:

7P7 ═ 7! (7-7) ═ 7! 0! ═ 7! 1 ═ 7!═ 5.040

Por lo tanto, el jugador le queda la libertad de realizar 5.040 jugadas diferentes.

4.- ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S= {a, b, c, d}? Describa cada una de las permutaciones posibles.

nPr ═ n! (n-r)! ═ 4! (4-4)! ═ 4! 0! ═ 4! 1 ═ 4!═ 4x3x2x1═ 24 permutaciones

Las 24 permutaciones son:

P ═ (a, b, c, d)

a b c a- b d a c- d b c d

a c b a- d b a d -c b d c

b a c b -a d c a- d c b d

b c a b -d a c d- a c d b

c a b d- a b d a -c d c b

c b a d- b a d c -a d b c

5.- ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD?

En este caso encontramos que hay varios elementos que se repiten, entonces utilizamos

la definición de:

Permutaciones con repetición:

La p se repite 1 vez -- N1 ═ 1

La r se repite 1 vez -- N2 ═ 1

La o se repite 1 vez -- N3 ═ 1

La b se repite 2 veces -- N4 ═ 2

La a se repite 2 veces -- N5 ═ 2

La i se repite 2 veces -- N6 ═ 2

La l se repite 1 vez -- N7 ═ 1

La d se repite 2 veces -- N8 ═ 2

Total: n ═ 12

Por lo tanto:

n! n1.n2!…n1! ═ 12! 1! 1!1!2!2!2!1!2! ═ 12! 1.1.1.(2x1)(2x1)(2x1)1(2x1) ═ 12! 2x2x2x2 ═12!.16═12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x116 ═47900160016 ═ 29, 937,600 permutaciones. Se puede realizar 29, 937,600 permutaciones distintas con la palabra probabilidad.

6.- Dados los siguientes seis números: 2, 3, 5, 6, 7, 9; y si no se permiten repeticiones, resuelva:

¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con estos seis dígitos?

6P3 ═ 6! (6-3)! ═ 6! 3! ═ 6x5x4x3! 3! ═ 120 números

¿Cuántos de estos son menores de 400?

1ra Cifra-2da Cifra-Ultima cifra

2, 5, 4 entonces 2x5x4 ═ 40 números

Para que el número sea menor a 400 debe empezar por 2 ó 3, es decir se tienen dos posibilidades. Para la primera cifra, como en la primera cifra ya se coloca un número y no hay repetición, entonces solo quedan 5 números para el segundo digito. Por último, solo quedarían 4 números para ocupar la última cifra.

¿Cuántos son pares?

1ra Cifra-2da Cifra-Ultima cifra

4, 5, 2 entonces 4x5x2 ═ 40 números

¿Cuántos son impares?

1ra Cifra-2da Cifra-Ultima cifra

4, 5, 4 entonces 4X5X4 ═ 80 números

¿Cuántos son múltiplos de cinco?

1ra Cifra-2da Cifra-Ultima cifra

4, 5, 1 entonces 4X5X1 ═ 20 números

7.- Una tarjeta de circuito impreso tiene ocho posiciones diferentes en las que puede colocarse un componente. Si se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tarjeta, ¿cuál es el número de diseños diferentes posible?

nPr ═ Vrn ═ n! (n-r)!

8P4 ═ Vrn ═ 8! (8-4)! ═ 8! 4! ═ 8x7x6x5x4!4! ═ 1680 diseños

El número de diseños diferentes posibles es 1.680

8.- En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una combinación de uno o más de los siguientes nueve ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad?

Si por ejemplo se elige piña y salchicha, es lo mismo que elegir salchicha y piña. Pero si se elige salchicha y peperoni, no es lo mismo que salchicha y jamón. En este caso se tienen elementos, (ingredientes), para ordenar una pizza con uno ó más de estos ingredientes, por lo tanto, utilizamos combinatorias.

( nr ) ═ n! (n-r)r!

( 91 ) ═ 9! 1!( 9-1)! ═ 9! 8! ═ 9

( 92 ) ═ 9! 2!( 9-2)! ═ 9! 2!7! ═ 36

( 93 ) ═ 9! 3!( 9-3)! ═ 9! 3!6! ═ 84

( 94 ) ═ 9! 4!( 9-4)! ═ 9! 4!5! ═ 126

( 95 ) ═ 9! 5!( 9-5)! ═ 9! 5!4! ═ 126

( 96 ) ═ 9! 6!( 9-6)! ═ 9! 6!3! ═ 84

( 97 ) ═ 9! 7!( 9-7)! ═ 9! 7!2! ═ 36

( 98 ) ═ 9! 8!( 9-8)! ═ 9! 8!1! ═ 9

( 99) ═ 9! 9!( 9-9)! ═ 9! 9!0! ═ 1

Entonces:

( 91)+ ( 92)+ ( 93)+ ( 94)+ ( 95)+ ( 96)+ ( 97)+ ( 98)+ ( 99) ═

9+36+84+126+126+84+36+9+1 ═ 511

Las variedades distintas de pizza es la suma de todas las combinaciones posibles. Por lo tanto, es cierto lo que anuncia la publicidad, porque evidentemente si son más de 500 variedades distintas de pizza.

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