Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función

2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función

VARIABLE INDEPENDIENTE: Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE: Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

Función Una función es una correspondencia entre dos magnitudes (numéricas o no numéricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la correspondencia siempre hay que entenderla en una dirección determinada. Hay que advertir que no se considera función a cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea función, la imagen de cada elemento tiene que ser única y estar bien determinada. Por ejemplo, la relación entre los ciudadanos y los países del mundo mediante la nacionalidad no es una función, porque existen ciudadanos con doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea función, los originales no pueden tener más de una imagen, si bien, varios originales distintos sí que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una correspondencia puede ser función en un sentido y no serlo en el sentido contrario.

Una función es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenido se denomina rango, contradominio, imagen o recorrido de la función.

Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Es decir, son todos aquellos números para los cuales la función tiene sentido y se representa por (A) en la figura.

Condominio. El condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y. Este conjunto se representa por (B) en la figura.

Rango ó Recorrido. Es el subconjunto de B formado por todas las imágenes. Una imagen es el elemento y que se obtiene en el codominio después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento x del dominio. La diferencia entre recorrido y condominio es que este último es el conjunto de las posibles imágenes que no necesariamente se ocupará completamente.

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva FUNCIÓN INYECTIVA

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f (y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a naturales es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

F (2) = 4 y

F (-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Otras formas de definirse: Una función f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X" tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen.

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA

Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aunque cumple f(x) = y, en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales naturales a naturales no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de naturales va al 3 por esta función.

Otras formas de definirse: Una función f: X à Y es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si esta aplicado sobre todo el codominiio, es decir, cuando a cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X"

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y

f(-2)=4)

Otra forma de definirse:

Una función f: X à Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva (suprayectiva), es decir si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a acada elemento del conjunto de llegada

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