Dominio Y Recorrido

FUNCIONES

Las funciones describen procesos de cambio en que cada objeto es transformado en uno solo.

El concepto de función está relacionado con un proceso de cambio en el que se deben considerar tres aspectos:

¿Qué objeto u objetos son los que cambian?

¿En qué objetos de transforman?

¿Cuál es el agente modificador o transformador?

Ejemplo: Una pequeña industria puede tomar una cierta cantidad de frutas (duraznos o uvas), proporcionándoles una adecuada cantidad de calor se transforman en igual cantidad de frutas secas (huesillos o pasas, respectivamente). Esquemáticamente:

Esto significa que D (duraznos) se transforma por medio del calor en H (huesillos).

Observa que hay procesos de cambio que no son funciones. Por ejemplo, en minería uno de los tantos procesos de transformación es el llamado “chancado”, en el cual un conjunto de piedras de gran tamaño es triturado y convertido en pequeños trozos.

¿Por qué el proceso de “chancado” no es una función?

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Se llama función de A en B a una relación R definida de A en B, sí y sólo sí todos y cada uno de los elementos de A están relacionados con un único elemento de B.

Si f es una función de A en B se anota: f: A ⟶ B

Simbólicamente:

f: A ⟶ B es función ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! Y ∈ B / (x,y) ∈ f

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Dom f): Es el conjunto de partida, en este caso es el conjunto A. Cada uno de sus elementos recibe el nombre de pre-imagen.

CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Codom f): Es el conjunto de llegada, en este caso es el conjunto B.

RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN (Rec f): Es el conjunto formado por todas las imágenes, es decir, por los elementos del codominio que están relacionados con una pre-imagen.

El recorrido de la función es un subconjunto del codominio.

OBSERVACIONES:

Si a ∈ A, el elemento de B que le corresponde a “a” bajo f se llama imagen de “a” y se denota por f(a).

Toda función es un subconjunto de una relación AxB. (f ⊆ AxB)

Ejemplos de relaciones que son funciones:

Si A = { a, b, c } ∧ B = { 0, 1, 2, 3 }, los siguientes diagramas muestran funciones de A en B.

f(a) = 0 ; f(b) = 2 ; f(c) = 2 g(a) = 0 ; g(b) = 1 ; g(c) = 3

h(a) = 1 ; h(b) = 1 ; h(c) = 1 t(a) = 1 ; t(b) = 2 ; t(c) = 3

Se define la función f: N ⟶ N por la relación f(x) = x + 1.

Dominio f = N

Recorrido f = { x ∈ N / x ≥ 2 } = { 2, 3, 4, 5, 6, …… }

En general, una función se puede interpretar como una máquina que transforma cada elemento del dominio (preimagen) en otro elemento del codominio (su imagen), mediante una ecuación matemática.

EJERCICIOS

Sea la función real f : R ⟶ R definida por f(x) = 2x3, calcula las imágenes de los números reales que se indican:

f(2) f(-1)

f(1/2) f(a)

f(- 1/3) f(- 3/4)

Dada la función f(x) = 1/x, calcula

f(2) f(0) f(-3)

Para x2 si x > 0

f(x) = 1 si x = 0, calcular:

-1 si x < 0

f(0) f(-3)

f(5) f(3/4)

Dada la función real, calcular:

3x – 2 si x > 0

F(x) = x + 3 si x = 0

No definida para R-

f(5) f(10/3) f(2/5) f(0)

f(x) = | x + 1 |

f(-6) f((-4)/3) f(-1)

Si f es una función real tal que para todo x ∈ R se cumple que: f(x – 1) = x2 – 3. Determina:

f(1) f(-1)

f(0) f(5)

Sea f: R ⟶ R una función definida por f(x) = [ x – 2 ] (función parte entera].

Complete la tabla

x 3,3 2 1,5 0 0,2 -3 -3,5 -1,4 -4,8

y

ALGEBRA DE FUNCIONES

DEFINICIÓN: Sean f : A ⟶ R ; g : B ⟶ R, con A ∩ B ≠∅, la “suma”, “diferencia”, “producto” y “cuociente” de las funciones f y g son las funciones: f + g , f – g , f ∙ g , f/g , definidas por:

∀ x ∈A ∩B :

EJEMPLO: Si f(x) = x2 y g(x) = 1/x, entonces:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 1/x = (x^3+1)/x

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 - 1/x = (x^3- 1)/x

( f ∙ g )(x) = f(x) ∙ g(x) = x2 ∙ 1/x = x

(f/g)(x) = x^2/(1/x) = x3

EJERCICIOS:

Sean f : R ⟶ R tal que f(x) = 2x + 5

g : R ⟶ R tal que g(x) = x2 + x. Determinar:

f + g f – g f ∙ g

f2 g2 2f – 3g

(g/f) 2f – g 4g – f2

Si f: Q* ⟶ Q ∧ g: R – { 1 } ⟶ R están definidas por:

f(x) = (1-x)/x ; g(x) = 1 - 1/(x-1), calcular:

(f(1)- g(2))/(2f(2)) f(-1) + g(-1)

3f(-1) + g(-2) 2 ∙ f(1/2) + g(1/2)

CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Calcular el dominio de una función significa encontrar el conjunto de números que puede tomar “x” en dicha función.

Ejemplos: dadas las siguientes relaciones

2)

Estas relaciones ¿son funciones? ¿por qué?

_______________________________________________________________________

¿Qué se debería hacer para que lo fuesen?

Si f es una función de A en B, entonces se debe cumplir que: Dom f = A.

_______________________________________________________________________

En los ejemplos dados sólo la relación N°2 cumple con esta condición, pero el elemento 1 tiene dos imágenes, por lo tanto ninguna de las dos relaciones son funciones. Sin embargo, una relación A x B puede ser una función restringiendo el dominio de dicha relación.

En nuestros ejemplos, nos quedaría:

Dom Rest = { 1, 2 } 2) Dom Rest = { 2, 3 }

= A – {3} = A – {1}

Codominio = B Codominio = B

Recorrido = B Recorrido = { a, b }

f: R ⟶ R , definida por f(x) = 1/(x-2), ¿f(2) = ?

De acuerdo a la definición, Dom f = R

Como se ve claramente 2 no tiene imagen pues la división por cero no existe; luego la definición correcta de la función sería:

f: R - { 2 } ⟶ R tal que f(x) = 1/(x-2)

g(x) = + √x

Para que √x sea un número real, el valor de x debe ser positivo o cero.

Luego Dom g = { x ∈ R / x ≥ 0 }

g(x) = + √(9-x)

(se consideran sólo las raíces positivas, en caso contrario no sería función).

Entonces: 9 – x ≥ 0, despejando x ≤ 9, lo que implica que: “g” no puede estar definida fuera del intervalo comprendido entre ]∞, 9]. Si esto ocurriera las imágenes serían números imaginarios, es decir, no reales, luego:

g : ]∞, 9] ⟶ R+ tal que g(x) = + √(9-x)

h(x) = 2/(3-x) + 5/(2x+1)

Ninguno de los denominadores puede ser cero.

Si x = 3, entonces 3 – x = 0 y si x = -1/2, entonces 2x + 1 = 0

Entonces: Dom h = R – {3, - 1/2}

EJERCICIOS

Sea A = { n ∈ N / 7 ≤ n ≤ 10 }. Determinar cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) función(es) de A en A y si no lo son restringir dominio para que si lo sean.

¿Es función?: __________ ¿Es función?: __________

Dominio: _____________ Dominio: ______________

Codominio:____________ Codominio: ____________

Recorrido: ____________ Recorrido: _____________

B)

¿Es función?: __________ ¿Es función?: __________

Dominio: _____________ Dominio: ______________

Codominio:____________ Codominio: ____________

Recorrido: ____________ Recorrido: _____________

Se define la relación en los racionales como g(x) = 3x2 + 1/x.

¿Es función? Si no lo es redefínela para que lo sea. f es una relación definida en los reales por f(x) = 1/(2x+1) ¿Determina el dominio de la relación para que sea una función?

Determinar el dominio de las funciones reales:

y = x/(5x+2) y = (x+2)/(x^2-2)

y = √(1/x) y = 1/x - 1/(x- 3)

y = (x^2+x)/x^2 y = 2/(x^2-4x+4)

f(x) = 3x - 1 f(x) = 5

f(x) = + √(x-9) f(x) = x + 2

t(x) = 2/(x+1) g(x) = √(x-2)

f(x) = 4x – (1/2) h(x) = (3x-5)/√(2x+3)

g(x) = 2x - 1/3x j(x) = 2/5x – 3

k(x) = (6x-1)/√x m(x) = (4-x)/(3x+1)

g(x) = (x+5)/(2x+6) h(x) = 3/(2x-10)

CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN

Del mismo modo en que es posible determinar el dominio de toda función, es posible encontrar su recorrido. El procedimiento consiste en despejar “x” en términos de la imagen (y) para averiguar qué restricciones presenta ésta última (división por cero, raíces negativas, etc).

...