Coordenadas

Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?

y=x^2-3x-2

Para hallar el punto crítico, derivamos la función e igualamos a cero

y^1=2x-3=0

2x=3

x=3/2=1.5

Remplazamos en la función

y=〖1.5〗^2-3(1.5)-2

y=2.25-4.5-2

y=-2.25-2

y=-4.45

Las coordenadas del punto crítico son p (1.5, -4.45)

Con el criterio de la primera derivada, evaluamos un punto antes y después del punto crítico para saber si es creciente o decreciente

y^1=2x-3 Punto crítico (1.5, -4.45)

y^1 (1)=2(1)-3

=-1 Decreciente

y^1 (2)=2(2)-3

=1 Creciente

Como viene decreciendo antes del punto crítico y después crece; el punto crítico es un MÍNIMO

y=〖3x〗^2-12x

Hallamos la derivada y la igualamos a 0

y=6x-12

0=6x-12

12=6x

12/6=x

x=2

Ahora sustituimos en la primera ecuación, entonces

y=〖3(2)〗^2-12(2)

y=12-24

y=-12

El punto crítico es (2,12)

Ahora para saber si es máximo o mínimo, se debe tener en cuenta el símboloque obtengamos en la segunda derivada

y=6x-12

y=6

En este caso es positivo, significa que es cóncavo hacia arriba “∪” ósea que alIgual que el punto anterior es un PUNTO MÍNIMO

Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

〖lim〗┬(x→0)⁡〖√(3&3x+2-2)/x〗

Es lo mismo que decir

〖 lim〗┬( x→0)=⌈〖(3x+1)〗^(1/3)-1⌉/x

Ahora derivamos; como f(x) es una potencia con 2 términos, debemos realizarla derivada de la potencia y la derivada interna entonces tenemos que

lim┬(x→0)⁡〖(1/3 (3x+1) (-2)/(3 )-1)/x〗 Realizando 1/3*3=1

lim┬(x→0) (3x+1) (-2)/(3 )

Ahora aplicamos el límite y este nos queda

〖3(0)+1〗^((-2)/3) = 〖(1)〗^((-2)/3)= 1

R/= 1

〖lim〗┬(x→0) (1-X^2)/((〖sin(〗⁡〖πX))〗 )

Con la regla de hopital decimos que

lim┬(x→0) ((1-X^2))/((〖sin(〗⁡〖πX))〗 )

Derivamos

lim┬(x→0) (-2X)/〖cos(〗⁡〖πX)*π〗

Aplicamos el límite

(-2(1))/〖π*cos(〗⁡〖π*1)〗

(-2)/〖π*cos(〗⁡〖π)〗

Sabiendo que 〖cos(〗⁡〖π)〗 = -1, nos quedaría

(-2)/(π*-1)=(-2)/(-π)=2/π

La respuesta es 2/π = 0,6366

〖lim〗┬(x→0) (e^2x-1)/x

Con la regla de hospital decimos que

lim┬(x→0) (〖(e〗^2x-1))/x

Derivamos

〖 lim〗┬( x→0) (e^2x*2)/1

lim┬(x→0) 〖 2e〗^2x

Aplicamos el límite

〖 2e〗^(2*(0))= 2

R/= 2

Halle paso a paso la tercera derivada de

f(x)=3 tan⁡3x

f'(x)=3[〖sec〗^2 (3x)](3)

=9〖sec〗^2 (3x)

f''(x)=9[2 sec⁡(3x) ][sec⁡(3x) tan⁡(3x) ](3)

=54〖sec〗^2 (3x)tan⁡(3x)

f''(x)=[54〖sec〗^2 (3x)tan⁡(3x)]

f^'''(x) =54{[6〖sec〗^2 (3x) tan^2⁡(3x)]+[3〖sec〗^4 (3x)]}

f^'''(x) = {[162〖sec〗^2 (3x)[2〖tan〗^2 (3x)+〖sec〗^2 (3x)]]}

f(x)=3 cot⁡3x

f^'(x) =3[-csc⁡(3x)

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