DATOS Y AZAR
Enviado por zuly07 • 25 de Junio de 2013 • 5.144 Palabras (21 Páginas) • 493 Visitas
TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL.
Tomando como referencia la fórmula de probabilidad condicional,
Despejando,
p(AE) = p(E)p(AE)
Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional
donde:
p(AE) = probabilidad de que ocurran A y E
p(E) = probabilidad de que ocurra E
p(AE) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento E ya ocurrió
Ejemplos:
1. En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras otro, determine la probabilidad de que: a. El primer producto no tenga defectos y que el segundo y tercero tengan defectos mayores, b. El primer producto tenga defectos menores, el segundo tenga defectos mayores y que el tercero no tenga defectos, c. El primer producto y el tercero no tengan defectos.
Solución:
a. a. Definiremos algunos eventos;
B1 = evento de que el primer producto seleccionado no tenga defectos
DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores
DM3 = evento de que el tercer producto seleccionado tenga defectos mayores
p(B1DM2DM3) = p(B1)p(DM2B1)p(DM3B1DM2)
=(11/25)*(9/24)*(8/23)
= 0.44*0.375*0.347826
= 0.05739
b. b. Dm1= evento de que el primer producto seleccionado tenga defectos menores
DM2 = evento de que el segundo producto seleccionado tenga defectos mayores
B3 = evento de que el tercer producto seleccionado no tenga defectos
P(Dm1DM2B3) = p(Dm1)p(DM2Dm1)p(B3Dm1DM2)
= (5/25)*(9/24)*(11/23)=
= 0.2*0.375*0.4782608= 0.03587
EVENTOS DEPENDIENTES
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Reglas de Multiplicación
Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:
Sea una partición sobre el espacio muestral y sea un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales , entonces la probabilidad del suceso viene dada por la expresión:
Demostración
Por hipótesis tenemos una partición del espacio muestral . Por lo tanto el suceso se puede escribir como
ahora bien, los conjuntos son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los tampoco lo serían. En consecuencia
Por último, se sabe que para cualesquiera sucesos y . Luego
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
TEOREMA DE BAYES
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión:
donde:
• son las probabilidades a priori.
• es la probabilidad de en la hipótesis .
• son las probabilidades a posteriori.
Fórmula de Bayes
Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.
CALCULO CON TÉCNICAS DE CONTEO
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.
La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas
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