Derivades

INSTITUTO TECNOLOGICO DE SOLEDAD ATLANTICO

ASIGNATURA : MATEMÁTICA II (BAC05)

DOCENTE : BLAS TORRES SUAREZ

APUNTES DE CLASE

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:

Sea una función en y su derivada, definimos como derivadas de orden superior, a las siguientes:

NOMBRE: SIMBOLO: DEFINICION:

Segunda derivada: , la segunda derivada de es la derivada de

Tercera derivada: , la tercera derivada de es la derivada de

Cuarta derivada: , la cuarta derivada de es la derivada de

n-ésima derivada: , la n-ésima derivada de es la derivada de

Ejercicios:

I. Hallar la segunda derivada de:

1.

2.

3.

II. Hallar las derivadas de orden superior que se indican:

Dada Hallar

1. ;

2. ;

3. ;

III. Hallar todas las derivadas de la función definida por

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En muchas situaciones prácticas, una cantidad está dada como una función de una variable que, a su vez, puede expresarse como una función de una segunda variable (a esto se llama función compuesta). El problema de hallar la derivada de la cantidad original, puede resolverse por medio de la regla de la cadena, o regla para derivar una función compuesta

Función compuesta: Se llama función compuesta de la función con la función a la función:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2 :

A continuación veremos cómo hacer para derivar una función compuesta.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Ó REGLA DE LA CADENA :

Ejemplo 1: Hallar la derivada de

Otra forma de enunciar la regla de la cadena :

Si es derivable en y es derivable en , entonces es una función compuesta de y:

Ejemplo 1: Hallar si :

Solución:

; pero y además , entonces:

. sacamos factor común y queda

=

O sea ,

Ejemplo 2: Hallar cuando

Ahora,

Ejercicios:

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, aplicando regla de la cadena :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

...