Distribuciones

TEMA 5

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

1. INTRODUCCIÓN

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

2. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

2.1 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN EL MUESTREO

2.1.1 DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO DE PEARSON.

2.1.2 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

2.1.3 DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR

2.1.4 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

2.2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE LOS PRINCIPALES ESTADÍSTICOS

2.2.1 EN UNA POBLACIÓN CUALQUIERA

2.2.2 EN UNA POBLACIÓN NORMAL

TEMA 5

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

1. INTRODUCCIÓN

Inferir es, en general, establecer un nuevo conocimiento a partir de uno ya dado. En nuestro contexto, nos interesa, basándonos en la información contenida en una muestra, inferir información sobre una población.

La Inferencia Estadística es la parte de la Estadística que incluye los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre una característica desconocida de la población a partir de la información contenida en una o más muestras representativas de esa población. La herramienta teórica que utiliza es la teoría de la probabilidad.

Ejemplo: Un ingeniero ha diseñado un nuevo tipo de CPU y desea obtener conclusiones sobre la forma en que funcionará una vez que se produzca a gran escala. Para ello toma una muestra de 40 CPU, y de las conclusiones que obtenga podrá inferir el funcionamiento de toda la producción prevista.

La Inferencia Estadística, estudia principalmente dos tipos de problemas:

a) La Estimación: consiste en determinar una característica desconocida de la población. Ejemplo: Averiguar la velocidad media de las CPU.

Puede ser:

puntual: determinar el valor concreto.

por intervalos: determinar un intervalo en el que esté contenida con cierto grado de probabilidad.

b) El Contraste de hipótesis: determinar si es aceptable, a partir de los datos muestrales, que la característica estudiada tome un valor predeterminado o pertenezca a un intervalo concreto. Ejemplo: ¿Es la velocidad media mayor que 5 millones de flops? ¿La velocidad media de las CPU tiene una distribución normal?

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

a) Población: es el conjunto de todos los individuos sujetos a estudio.

b) Muestra: es el subconjunto finito de elementos selecionados de la población.

Para que las inferencias sean válidas, las muestras deben ser representativas de la población.

c) Muestreo: procedimiento de obtención de una muestra. Podemos describir los sigientes tipos:

Muestreo Opinático: la selección de los elementos muestrales se realiza según el criterio del investigador. la muestra no es representativa de la población.

Muestreo Aleatorio: se seleciona de forma que cada elemento de la población tiene una probabilidad positiva de ser elegido.

Muestreo Aleatorio Simple: Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido y esta probabilidad se mantiene constante a lo largo del proceso. La técnica del muestreo puede asimilarse a un modelo de extracción con reemplazamiento. Un mismo dato puede ser muestreado más de una vez. Los datos muestrales serán estocasticamente independientes .

Muestreo Aleatorio Irrestricto: Cada elemento de la población tiene en un principio la misma probabilidad de ser elegido, pero posteriormente, la probabilidad de obtener un valor en cada selección viene influida por los resultados anteriores. Se corresponde con un modelo de extracción sin reemplazamiento.

Muestreo Estratificado: Se divide a la población en estratos, niveles o grupos según criterios prefijados y la muestra se toma asignando una proporción de miembros a cada estrato y escogiendo los elementos dentro de cada estrato por muestreo aleatorio simple (m.a.s.)

El muestreo aleatorio debe utilizarse cuando los elementos de la población son homogéneos respecto a la característica a estudiar. Cuando dispongamos de información sobre la población conviene tenerla en cuenta al seleccionar la muestra. Un ejemplo son las encuestas de opinión, donde los elementos (personas) son hetereogéneos en razón a su sexo, edad, profesión,etc. Interesa en estos casos que la muestra tenga composición análoga a la población y esto se consigue con un muestreo estratificado.

Muestreo por conglomerados: cuando los elementos de la población se encuentran "de manera natural" agrupados en conglomerados, cuyo número se conoce, y podamos suponer que cada uno de estos conglemerados es una muestra representativa de la población respecto de la variable que se estudia. El muestreo consiste en seleccionar uno de estos conglomerados al azar y, dentro de ellos, analizar todos sus elementos o una muestra aleatoria simple.

En este curso vamos a suponer que la muestra ha sido obtenida por muestreo aleatorio simple (m.a.s.) puesto que la teoría bajo este tipo de muestreo es la más sencilla. Sin embargo, en la práctica se suele realizar el muestreo irrestricto. De todas formas, si la población tiene un número grande de elementos, la probabilidad de que un elemento salga repetido es muy pequeña y los dos tipos de muestreo serán equivalentes.

Si el muestreo es aleatorio, seleccionar un elemento de la población es realizar un experimento aleatorio y cada observación de la muestra es el valor observado de una variable aleatoria. La distribución de probabilidad de cada una de estas variables aleatorias viene determinada por la distribución de los elementos de la población. Así podemos definir:

Muestra aleatoria simple de tamaño n: es una variable aleatoria n-dimensional donde cada representa el valor observado en la i-ésima extracción y podrá tomar cualquier valor de la población. Por tanto, una muestra concreta realizada, será un valor particular, una realización de la muestra genérica.

En la medida en el que el m.a. cada elemento de la población tiene una probabilidad de ser elegido, cada dato muestral genérico será una variable aleatoria que tendrá asociada una función de probabilidad (de cuantía o de densidad) según una determinada distribución que llamaremos distribución de la población. Si trabajamos con un m.a.s. cada es estocásticamente independiente y entonces la función de probabilidad o de densidad conjunta de la muestra será:

Ya hemos mencionado en la introducción

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