ELABORACION DE MODELOS

Formulación de modelos

Tomemos la siguiente situación como ejemplo para mostrar cómo se formula un problema de programación lineal.

Nueva Esperanza S.A. es una pequeña empresa fabricante de carteras de cuero. Una importante cadena de tiendas por departamentos está interesada en adquirir en los próximos tres meses todas las carteras que pueda producir Nueva Esperanza S.A. en sus dos tipos, (cartera estándar y cartera de lujo). Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dio como resultado la siguiente tabla en la que se muestra la necesidad de tiempos de producción (en horas) para las tres operaciones de manufactura que requiere cada producto.

Producto Tiempo de producción (horas)

Corte Costura Acabado

Cartera Estándar 0,5 1,0 0,5

Cartera de Lujo 1,5 0,5 0,5

El departamento de Contabilidad ha determinado que la utilidad por bolsa estándar es de S/. 20 y por bolsa de lujo S/. 15.

El departamento de Producción estima que para los siguientes tres meses estarán disponibles 750 horas de tiempo para Corte, 600 horas de tiempo para Costura y 350 horas de tiempo para Acabado.

También se sabe que el lote mínimo de producción es de 300 unidades, en cualquier combinación de las cantidades de productos.

La pregunta es: ¿cuántas carteras de cada tipo debe fabricar la empresa los próximos tres meses, de tal manera que se obtenga la máxima utilidad dentro de los límites capacidad de producción mencionados?

Primero se definen las variables de decisión en este caso:

X1: número de carteras estándar a fabricar los próximos tres meses.

X2: número de carteras de lujo a fabricar los próximos tres meses.

De acuerdo a la situación planteada, la utilidad total por la producción y venta de las carteras es:

Utilidad total = 20 X1 + 15 X2

La solución óptima es la combinación de producción que maximice la utilidad, el problema es determinar los valores de las variables X1 y X2 que dan el valor más elevado de utilidad.

Max 20 X1 + 15 X2

La producción de las carteras está limitada por la cantidad de horas disponibles.

De la tabla sabemos que cada cartera estándar necesita de 0,5 horas de Corte por lo que X1 carteras estándar necesitarán 0,5 X1 horas de Corte. Así también, una cartera de lujo necesita 1,5 horas de Corte por lo que X2 carteras de lujo necesitarán 1,5 X2 horas de Corte. El total de horas utilizadas para producir X1 carteras estándar y X2 carteras de lujo es:

Total de horas utilizadas en la operación de corte = 0,5 X1 + 1,5 X2

En vista que para Corte sólo se dispone de 750 horas, se debe cumplir que:

0,5 X1 + 1,5 X2  750 Horas disponibles para Corte

Esta desigualdad se conoce como restricción. En general una restricción es una limitación de un recurso a utilizar ( ) o un requerimiento mínimo a satisfacer (), que puede ser expresada matemáticamente como una desigualdad o igual-dad, y que debe ser cumplida por las variables del modelo.

De manera similar a la operación de Corte, las limitaciones de horas para las otras operaciones son las siguientes restricciones:

X1 + 0,5 X2  600 Horas disponibles para Costura

0,5 X1 + 0,5 X2  350 Horas disponibles para Acabado

También hay un lote mínimo a producir, es decir la cantidad de unidades a producir (X1 + X2) debe ser por lo menos 300 unidades, entonces la restricción es:

X1 + X2  300 Lote mínimo de producción

Además debemos considerar que no pueden producirse un número de carteras negativo, por lo tanto debe cumplirse:

X1  0 y X2  0 Condiciones de no negatividad

Estas restricciones aseguran que la solución no tendrá valores negativos y se les conoce como condiciones o restricciones de no negatividad.

En resumen, el modelo formal de programación lineal para el problema planteado es el siguiente:

Max 20 X1 + 15 X2 Utilidad en soles

Sujeto a:

0,5 X1 + 1,5 X2  750 Horas disponibles para Corte

X1 + 0,5 X2  600 Horas disponibles para Costura

0,5 X1 + 0,5 X2  350 Horas disponibles para Acabado

X1 + X2  300 Lote mínimo de producción

X1, X2  0 Condiciones de no negatividad

Solución por método gráfico

Solución gráfica

Una vez establecido el modelo de programación lineal, el siguiente paso es resolver el modelo, es decir, encontrar los valores de las variables de decisión que optimizan la función objetivo.

Si el modelo de programación lineal es de dos variables, entonces puede ser resuelto gráficamente. Si bien es cierto que los problemas se pueden resolver mediante el uso de programas aplicativos en computadora, tema que desarrollaremos posteriormente, la solución gráfica tiene la bondad de permitirnos comprender conceptos que posteriormente vamos a utilizar en la solución de modelos con más de dos variables y que por no poderse representar gráficamente dichos conceptos serían muy difíciles de aplicar en la interpretación de los resultados.

Tomemos el modelo de programación lineal encontrado para la producción de carteras de Nueva Esperanza S.A., el cual se muestra a continuación.

Max 20 X1 + 15 X2 Utilidad en soles

Sujeto a:

0,5 X1 + 1,5 X2  750 (1) Horas disponibles para Corte

X1 + 0,5 X2  600 (2) Horas disponibles para Costura

0,5 X1 + 0,5 X2  350 (3) Horas disponibles para Acabado

X1 + X2  300 (4) Lote mínimo de producción

X1, X2  0 Condiciones de no negatividad

A continuación desarrollaremos el método gráfico para encontrar los valores de X1 y X2 que maximizan la función objetivo.

Región factible:

Para facilitar su identificación en el desarrollo del método gráfico se ha numerado cada una de las restricciones.

En el método gráfico se utiliza el plano cartesiano y se asigna cada variable a uno de los ejes cartesianos. La asignación es arbitraria, en nuestro caso, X1 se asigna al eje horizontal y X2 al eje vertical.

Dado que las variables X1 y X2 en el modelo deben cumplir las condiciones de no negatividad, su representación gráfica

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