EXPOSICION

EXPOSICIONN

Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muestrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.

• Si tenemos una población normal N(,) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

• Si la población no sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.

1) Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7

 La población es N(5,8;2,4), con n=16 la distribución muestral de medias se distribuye N(5,8;0,6)

En la escena llamamos s a la desviación típica de la población. Compara los gráficos de la distribución muestraly de la distribución de la población. Estas distribuciones están dibujadas con una escala diferente a la N(0,1), puedes cambiarla con el valor ESCALA.

 Si x es la media de la muestra hemos de calcular la probabilidad

P(5x7)=P(-1.33z2)=

=P(z2)-[1-P(z1.33)] = 0,8854

Pulsando sobre el icono se abrirá una página con la tabla N(0,1).

Busca en ella las probabilidades que corresponden a los valores za y zb

2) Las estaturas de cierta población se distribuyen N(168,8). Calcula la probabilidad de que en una muestra de 36 personas la altura media no difiera de la de la población en más de 1 cm. Cambia los valores en la escena, con las flechas o escribiéndolos sobre los actuales y pulsando INTRO. Cambia el valor de la ESCALA para verlo mejor.

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2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES

En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .

• Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población yq=1-p.

3) Si tiramos una moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?

 En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5 q=0,5 n=100

 La distribución muestral de proporciones se distribuye

N(0,5;0,05)

 Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemos de calcular la probabilidad

P(p'>0,55) = P(z>1) =

=1-P(z1) = 1-0,8413 = 0,1587

Utiliza la tabla N(0,1) para comprobar la probabilidad correspondiente al valor z

4) Una máquina fabrica piezas de precisión y en su producción habitual tiene un 3% de piezas defectuosas. Se empaquetan en cajas de 200, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 5 y 7 piezas defectuosas en una caja? Como antes, cambia los valores en la escena. Cambia también el valor de la ESCALA para verlo mejor.

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Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

Ejemplo

Para la dsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:

a. El error muestral de cada media

b. La media de los errores muestrales

c. La desviación estándar de los errores muestrales.

Solución:

a. En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales:

Muestra x Error muestral, e=x-

(0,0) 0 0 - 3 = -3

(0,2) 1 1 - 3 = -2

(0,4) 2 2 - 3 = -1

(0,6) 3 3 – 3 = 0

(2,0) 1 1 – 3 = -2

(2,2) 2 2 – 3 = -1

(2,4) 3 3 – 3 = 0

(2,6) 4 4 – 3 = 1

(4,0) 2 2 – 3 = -1

(4,2) 3 3 – 3 = 0

(4,4) 4 4 – 3 = 1

(4,6) 5 5 – 3 = 2

(6,0) 3 3 – 3 = 0

(6,2) 4 4 – 3 = 1

(6,4) 5 5 – 3 = 2

(6,6) 6 6 – 3 = 3

b. La media de los errores muestrales es e, es:

c. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales

e, es entonces:

La desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales.

En general se tiene:

Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar x .

donde es la desviación estándar de la población de donde se toman las muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población.

Como rfegla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra (N 20), entonces se puede usar la fórmula.

El factor se denomina factor de corrección para una población finita.

Ejemplo:

Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas Antiguedad

A 6

B 4

C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar

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