Ensayo De Probabilidad

Ensayo de probabilidad

Universidad Inter-Americana de Puerto Rico

Recinto de San Germán

Maestría en Matemáticas Aplicadas

Ensayo de Probabilidad

Juan C. Morales

Math 5400

Prof. Balbino García

Dentro de la historia, algunas personas siempre han sentido una atracción hacia los juegos de azar. Al inicio, la probabilidad comenzó siendo una colección de observaciones respecto al juego de azar. Con el tiempo se ha convertido en una rama importantísima de Las matemáticas puras y aplicadas. En el siglo XIX, Fermat en su obra “ Teoría analítica de la probabilidad” y en el siglo XX, Kolmogrov, cambiaron la probabilidad en ciencia. Aunque no es posible tener seguridad absoluta de la veracidad de dichas inferencias frecuente mente se emplea el término de probabilidades para hablar de estas conclusiones. La probabilidad tiene un auge amplio en el conocimiento humano, que su aplicación práctica se manifiesta en casi todas las áreas del saber.

Para poder calcular la probabilidad de un evento tenemos que conocer algunos conceptos. Como por ejemplo Teoría de Conjuntos y Teoría de Combinatoria y otros mas que se mencionaran mas adelante. En la teoría de conjuntos tenemos que saber la definición de conjunto, que es de suma importancia. Un conjunto es una colección de objetos que se le llaman elementos. En otras palabras un conjunto es una agrupación de elementos. Se le llama al conjunto con una letra mayúscula y a los elementos con letras minúsculas. Sea A={x,b,c}, pues A es el nombre del conjunto y x,b y c son los elementos. De los mismos conjuntos se pueden sacar otros conjuntos que le llamaremos sub conjuntos. Los subconjuntos se forman de elementos del conjunto original formando otro conjunto. La notación de subconjunto viene dad por , donde A es subconjunto de B si cada elemento de A se encuentra en B. Un ejemplo puede ser D={3,4,5,6}, pues A={4,5} como los elementos de A se encuentran en D pues se dice que . También es necesario saber que el conjunto vacío que se denota por ó {} es subconjunto de todo conjunto. Por otra parte se debe conocer los conceptos de unión, intersección y complemento de conjuntos. La unión de dos conjuntos es la unión de los elementos que se encuentran en cada conjunto. En notación se describe de la siguiente forma, sean A y B conjuntos finitos, pues se lee A unión B. Un ejemplo de unión puede ser que los conjuntos D={5,7,9} y B={1,3,4,7} pues {1,3,4,5,7,9}. Una aclaración los elementos que se repiten en la unión se escriben una sola vez. En la intersección se asumen dos conjuntos A y B, la notación para intersección esta dada por que significa A intersección B que son los elementos que tienen común. Un ejemplo de la intersección puede ser los conjuntos C={3,5,7,11} y D={8,6,7,3}, la intersección de los conjuntos se denota por {7,3}, son los elementos que tienen en común. En el caso de que no tengan ningún elemento en común pues se genera el conjunto vacío. El complemento de un conjunto se denota por U-A ó AC donde U será el universo(conjunto mas grande) y A un subconjunto de U y significan los elementos que le faltan a el conjunto A para ser igual a U. Esta definición se puede explicar con un diagrama de venn que se utiliza para representar el universo y las uniones e intersecciones de los conjuntos. El diagrama de venn se dibuja de la siguiente forma en los siguientes casos; significa los conjunto A y B, en el siguiente diagrama podemos ver la intersección de A y B el color oscuro representa la intersección de A y B, en cuanto al universo pademos ver lo que sigue donde la parte oscura viene siendo el complemento de A y B que junto seria el universo. También en teoría de conjuntos encintramos el producto cartesiano, que se denota por A x B = {(a,b) / a ε A , b ε B} y quiere decir que se formaran unos conjuntos de pares ordenados donde a cada elemento de A se pareará con cada elemento de B. Ejemplo; Sean A={4,5,7} y B={1,2,6} pues A x B = { (4,1),(4,2),(4,6),(5,1),(5,2),(5,6),(7,1),(7,2),(7,6)}. El producto cartesiano no es conmutativo debido a que los pares ordenados tienen un orden. También podemos calcular el número de elementos de un conjunto por la notación n(A) donde n representa el número de elementos de A. Ej: Sea A = {7, 8, 9,10} y B= {2, 6,4}, pues n(A)=4 y n(B) = 3. En el caso de que se calcule el número de elementos de la unión que se denota por n ( ) = n(A) + n (B) – n ( ), donde se suman la cantidad de elementos que tienen cada conjunto y se resta la cantidad de elementos que tienen en común. En el caso de n (AC) = n (U) – n (A), esto sería el calculo del numero de elemento del complemento de A. Con esto tenesmos un resumen de la teoría de conjuntos que será necesaria para el calculo de probabilidad.

En teoría de combinatoria podemos encontrar varios conceptos tales como; factorial, coeficiente binomial, etc. La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados. Comenzamos explicando el concepto de factorial, el factorial de un número se denota por x! donde x es un entero no negativo y significa distribuir multiplicaciones desde x hasta 1. En el lenguaje matemática sería x! = (x)(x-1)(x-2)….(2)(1). Un ejemplo de factorial sería el siguiente 5! = (5)(4)(3)(2)(1)= 120. Conociendo ya que es un factorial de un número podemos entender lo que sería el coeficiente binomial que se denota por = . Un ejemplo sería en el coso que se fuera a elegir un comité de 6 personas de un grupo de 9 ¿ De cuantas maneras se puede hacer?

= . Se puede hacer de maneras.

Por otra parte podemos usar factorial para resolver combinaciones como el siguiente ejemplo; De cuantas maneras distintas se pueden ordenar una fila horizontal de 5 libros distintos. Esto se resolvería utilizando factorial pues 5 ¡ = 120. Se puede organizar los libros en 120 formas distintas. La combinación se usa para analizar varias combinaciones que nos pueden ayudar en el cálculo de probabilidades.

La probabilidad consiste en que al hacer un experimento, las mismas condiciones iniciales no producen siempre el mismo resultado final. La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio ( aleatorio quiere decir al azar), del que se conoce todos los resultados posibles. Para efecto la probabilidad no puede pasar del 100%. Hay dos amplias categorías de interpretación de la probabilidad; los frecuentitas que hablan de probabilidades solo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos y los

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