Espacio métrico

Espacio métrico

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En matemática, un espacio métrico es un conjunto junto con una función distancia (porque cumple con unas propiedades concretas atribuidas a las distancias) definida sobre él, de modo que cualquier par de puntos (o elementos) del conjunto están a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.

Índice

• 1 Definiciones

o 1.1 Definición de espacio métrico

o 1.2 Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico

• 2 Topología de un espacio métrico

• 3 Sistemas axiomáticos alternativos

• 4 Ejemplos

• 5 Un análisis lógico

• 6 Espacios metrizables

o 6.1 Teorema de metrización de Urysohn

o 6.2 Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente)

o 6.3 Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria)

o 6.4 Teorema de metrización de Stone

o 6.5 Teorema de metrización de Smirnov

o 6.6 Teorema de metrización de espacios completamente separables

• 7 Véase también

• 8 Referencias

Definiciones

Definición de espacio métrico

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica) (donde es el conjunto de los números reales). Decir es una distancia sobre es decir que para todo , , en , esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

1. (positividad)

2. (reflexividad)

3. si entonces (identidad de los indiscernibles)

4. (simetría)

5. (desigualdad triangular).

Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico

Sea un espacio métrico, y sean y un punto de y un número real positivo o cero, respectivamente:

• Se llama bola (abierta) centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como , o como .

• Se llama bola cerrada centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como o como o tambien como .

• En análisis funcional la terminología puede llevar un poco a confusión, pues a la bola abierta de radio y centro se la suele denotar por o por , mientras -y aquí viene la posible confusión- a la bola cerrada de centro y radio se la denota por o por .

• Algunos autores utilizan la expresión disco en lugar de bola, así es que se puede hablar en términos de disco abierto y disco cerrado. En particular, esta terminología se utiliza en Variable Compleja, y cuando se considera la distancia euclídea sobre el conjunto .

• Se llama esfera centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como , o como ..

Topología de un espacio métrico

La distancia del espacio métrico induce en una topología, y por tanto el espacio es, a su vez, un espacio topológico al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos que cumplen

.

Esto es a todos los subconjuntos para los cuales cualquier punto en es el centro de alguna bola de radio positivo totalmente incluida en , o lo que es lo mismo: U no tiene puntos en la frontera; no tiene frontera.

Dicha topología se denomina topología inducida por en .

Podemos entonces interpretar intuitivamente que un conjunto abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de cada uno de sus puntos.

Un subespacio métrico de un espacio métrico es subespacio topológico del espacio topológico , donde es la topología en inducida por . Es decir, hereda de la topología inducida por .

Un entorno de un punto de un espacio métrico no es más que un subconjunto de forma que exista un tal que la bola abierta . El conjunto es base de la topología inducida por , y también es base de entornos de dicha topología. Como es denso en , resulta entonces que también es base de entornos de la topología inducida por . En consecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

Todo espacio métrico es espacio de Hausdorff. Además, al igual que ocurre en espacios pseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser espacio de Lindelöf, cumplir el Primer Axioma de Numerabilidad y ser separable.

Sistemas axiomáticos alternativos

La propiedad 1 ( ) se sigue de la 4 y la 5. Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor . Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando o ) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere. Una métrica es llamada ultramétrica si satisface

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