Estadistica Inferencial

1.2 Inferencia Estadística. Conceptos básicos.

Puede definirse la Inferencia Estadística como

“El conjunto de métodos estadísticos que permiten deducir (inferir)como se distribuye la población en estudio o las relaciones estocásticasentre varias variables de interés a partir de la información queproporciona una muestra”.

Para que un método de inferencia estadística proporcione buenos resultados debe de:

Basarse en una técnica estadístico-matemática adecuada al problema y suficientemente validada.

Utilizar una muestra que realmente sea representativa de la población y de un tamaño suficiente.

Conceptos básicos que se utilizarán en este texto son los siguientes:

Población: es un conjunto homogéneo de individuos sobre los que se estudia una o varias características que son, de alguna forma, observables.

Muestra: es un subconjunto de la población. El número de elementos de la muestra se denomina tamaño muestral.

Muestreo aleatorio simple: es aquel en el que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

Muestra aleatoria simple, de una variable aleatoria X, con distribución F, de tamaño n, es un conjunto de n variables aleatorias X1,X2,...,Xn,independientes e igualmente distribuídas (i.i.d.) con distribución F.

Espacio muestral: es el conjunto de muestras posibles que pueden obtenerse al seleccionar una muestra aleatoria, de tamaño n, de una cierta población.

Parámetro: es cualquier característica medible de la función de distribución de la variable en estudio (media, varianza,..).

Estadístico: es una función de la muestra T . Por tanto, es una variable aleatoria que tiene una función de distribución que se denomina distribución en el muestreo de T. Los estadísticos independientes del parámetro a estimar se denominan estimadores.

Propiedades de los estimadores.

Sea n= n un estimador del parámetro . Propiedades del estimador son las siguientes

1. Estimador centrado o insesgado, tiene sesgo cero,

2. Estimador asintóticamente centrado o insesgado,verifica

3. Error Cuadrático Medio de n,es

4. Estimador consistente en media cuadrática, verifica

por tanto

5. La precisión o eficacia del estimador n es

Si el estimador es insesgado

6. Estimador de la media poblacional, se utiliza la media muestraldefinida por

1.

(1.1)

2. Si X sigue una distribuciónN , se verifica que

(1.2)

3. Estimador de la varianza poblacional, se utiliza la cuasivarianza muestral definida por

4.

(1.3)

5. Si X sigue una distribuciónN , se verifica que

(1.4)

6. Dado que normalmente la varianza poblacional se desconoce y es necesario estimarla, es de interés el siguiente resultado

(1.5)

“Breve introducción a la Inferencia Estadística”.

La inferencia estadística es, realmente, la parte más interesante y con mayor cantidad de aplicaciones en problemas concretos. ¿De qué se ocupa? El planteo, a grandes rasgos, es más o menos el siguiente: el investigador se encuentra estudiando una gran población (personas, o tornillos, o palomas, o automóviles, o lo que sea) y quiere disponer de algunos valores (promedios, desvíos, tendencias, forma de la distribución, etcétera) que sean válidos en forma general, para toda la población en estudio. Sin embargo, le resulta imposible acceder a toda la información, medir la variable analizada en todos y cada uno de los integrantes de la población.

¿Qué hace?. Apela al estudio de muestras, que son subconjuntos de la población original, con menos elementos, pero que intentan representarla del modo más fiel posible. En algún sentido puede decirse que una muestra seleccionada honestamente es un “modelo reducido a escala” de la población. Por supuesto, al tomar la muestra siempre se producen errores y se pierden detalles, pero es mucho más lo que se gana respecto a la información que ella puede proporcionar.

Existen numerosas técnicas para seleccionar muestras. Este paso es de importancia vital en un estudio estadístico, porque las conclusiones que se obtienen dependen muy esencialmente de la/s muestra/s analizada/s. Las técnicas que proporcionan las mejores muestras son las aleatorias, en las que cualquier integrante de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido.

La cantidad de elementos que integran la muestra (el tamaño de la muestra) depende de múltiples factores, como el dinero y el tiempo disponibles para el estudio, la importancia del tema analizado, la confiabilidad que se espera de los resultados, las características propias del fenómeno analizado, etcétera.

A partir de la muestra seleccionada se realizan algunos cálculos y se estima el valor de los parámetros de la población tales como la media, la varianza, la desviación estándar, o la forma de la distribución, etcétera. Existen dos formas de estimar parámetros: la estimación puntual y la estimación por intervalo de confianza. En la primera se busca, con base en los datos muestrales, un único valor estimado para el parámetro. Para la segunda, se determina un intervalo dentro del cual se encuentra el valor del parámetro, con una probabilidad

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