Estado General De Esfuerzos

ESTADO GENERAL DE ESFUERZO

En las secciones precedentes se ha supuesto un estado de esfuerzo plano con σz = zx= zy=0, y considerando solo transformaciones de esfuerzo asociadas con una rotación alrededor del eje z.

Considérese el tetraedro mostrado en la figura 6.23 tres de sus caras son paralelas a los planos coordenados, y la cuarta cara ABC es perpendicular a la línea QN. Si ΔA es el área de la cara ABC, y λx, λy, λz los cosenos directores de QN.

Si el estado de esfuerzo en el punto Q esta definido por las por las componentes σx, σy, σz, xy, yz, y zx, entonces las fuerzas ejercidas sobre las caras paralelas a los planos coordenados pueden obtenerse multiplicando las componentes apropiadas del esfuerzo por el área de cada cara.

La suma de todas las componentes de todas las fuerzas que actúan en el tetraedro, a lo largo de QN, es cero. Observando que las componentes de una fuerza paralela al eje, a lo largo de QN se obtiene multiplicando su magnitud por el coseno director λx, y que las componentes de las fuerzas paralelas a los ejes y y z se obtienen en forma similar, se escribe

∑Fn=0: σn ΔA – (σx ΔA λx) λx- ( xy ΔA λx) λy – ( xz ΔA λx) λz- ( yx ΔA λy) λx - (σy ΔA λy) λy – ( yz ΔA λy) λz – ( zx ΔA z) λx- ( zy ΔA λz) λy-( σz ΔA λz) λz=0

Dividiento por ΔA y despejando σn,

σn = σxλ_x^2+ σy λ_█(y @)^2+ σzλ_█(z @)^2+2 xy λxλy + 2 xy λy λz + 2 zx λz λx

se observa que la expresión obtenida para σn es una forma cuadrática en λx, λy y λz. Se puede escoger los ejes coordenados de tal manera que el miembro derecho de la ecuación se redusca a los tres términos que contienen los cuadrados de los cosenos directores. Llamado estos ejes a,b y c, los correspondientes esfuerzos normales por σa, σb y σc y los cosenos directoresde QN, con respecto a estos ejes, por λa, λb y λc se escribe:

σn = σaλ_a^2+ σb λ_█(b @)^2+ σcλ_█(c @)^2

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