Estudio 1ra Solemne

Guía Primera Solemne.

Cálculo Diferencial.

1. Empleando la definición formal de límite demuestre que:

(a) lim

x!2

(8x 10) = 6 (b) lim

x!1/2 ✓ 4x

2 1

2x 1 ◆ = 2

(c) lim

x!3

(x2 2x) = 3

2. Para las siguientes funciones determinar si hay asintotas verticales, horizontales , oblicuas o curvas:

(a) f (x) = p|x|

x (b) f (x) =

x2 + 1

x

(c) f (x) = pxx

1

3. Calcular los siguientes límites:

(a) limh!0 (x + h)n xn

h

(b) lim

x!1

(1 x) tan ⇣ ⇡x

2 ⌘

(c) lim

x!a

senx sena

x a

(d) lim

x!1

1 x2

sen⇡x

(e) lim

x!0 ✓

sen3x

x ◆

1+x

(f ) lim

x!0

(1 + 4x)( x1 +2)

(g) lim

x!1 ✓

2x + 1

2x + 2 ◆

x

(h) lim

x!0

(x + ex)1/x

(i) lim

x!1

x pxn 1

(j) lim

x!a

ln x ln a

x a

(k) lim

x!2

ln(3 x)

x2 4

(l) lim

x!1

ln(1 + ex)

x

4. Sea f (x) = :<8 (px ( x 4)

2)(x 5) si 4 < x < 5

2 x2 si x  4 _ x 5

. Analise la continuidad de f en su dominio.

5. En cada caso determine si existen a, b 2 R, para que f sea continua en R,

(a) f (x) = :<8

3x 2a si x < 2

4ax 3b + 1 si 2  x  1

x 2b si x > 1 (b) f (x) = >>:>><>>8

x2 si x

a + 1 cos(2x)

x2 si 0 <

bx 8b

p3x 2

si x

6. En cada caso determine si y satisface la ecuación diferencial dada:

(a) y = x2 + 2x + 2

2 , ecuación diferencial 1 + y02 = 2yy0

(b) y = e2x sin 5x, ecuación diferencial y00 4y0 + 29y = 0

(c) y = e x cos x, ecuación diferencial yiv + 4y = 0

7. Si ex ey = ea verificar que y00 = exey e2x

e2y

8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = x3 + 2x2 4x 3en el punto

9. Hallar la ecuación de la par·bola y = x2 + bx + c, que es tangente a la recta x = y en el punto (1

10. ¿En qué punto de la curva y2 = 2x3 la tangente es

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