Eventos Independientes

EVENTOS INDEPENDIENTES

Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P(B/A) = P(B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

Proposición 3.6: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.

Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene

y *Despejando [3.3]

Como B es independiente de A, se tiene: P(B/A) = P(B) y sustituyendo en [3.3] nos conduce a la expresión

Por lo tanto, , de donde , lo que nos indica que A es independiente de B.

Proposición 3.7: A y B son independientes si y sólo si

Demostración: Si A y B son independientes, entonces

P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A) [3.4]

De la definición de probabilidad condicional se derivó la ecuación [3.5]

[3.5]

*Sustituyendo [3.4] en [3.5] se tiene:

Por otra parte, si , entonces

y

De donde A es independiente de B y B es independiente de A.

Ejemplo: En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.

a. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?

c. Complete la siguiente tabla

d.

V VC Total

A 0.04 0.08

AC

Total 0.20 1.00

e. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?

Solución:

P(V)P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(VÇ A) = 0.04. Como P(VÇ A) ¹ P(V)P(A), se concluye que V y A no son independientes.

a.

b. Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P(VC) = 1 – 0.20 = 0.80 y P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tanto

c.

V VC Total

A 0.04 0.04 0.08

AC 0.16 0.76 0.92

Total 0.20 0.80 1.00

d.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B".

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no intersecantes), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro, no pueden ocurrir a la vez, o cuando no tienen ningún punto muestra en común entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

Ejemplo: Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un Rey de corazón rojo en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos mutuamente

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