Extremos Relativos

EXTREMOS RELATIVOS

Dada una función y=f(x) y un punto x o D se dice que f x) tiene en Xo:

Un máximo relativo, si existe un entorno de x o en el que se cumple f (X) < f (Xo)

Un mínimo relativo, si existe un entorno de x o en el que se cumple f (Xo) < f (X)

Un extremo relativo, si f tiene en x o un máximo o un mínimo relativo.

Si las desigualdades anteriores se verifican de forma estricta para xx o , se dice que el máximo o mínimo es estricto.

Los extremos relativos también se denominan óptimos locales; dando lugar a los términos máximo local y mínimo local.

Condición necesaria de extremo relativo(condición de primer orden)

Si f (X) es una función derivable en un punto Xo D y Xo es un extremo relativo de f, entonces f’ (Xo) = 0.

Esta condición es necesaria pero no es suficiente; por ejemplo, f(x) = x3 tiene como derivada f’ (Xo)= 2x2 que se anula en x = 0 y sin embargo, es estrictamente creciente en x = 0 por lo que no tiene extremo en dicho punto.

Se dice que Xo es un punto crítico de f si f’ (Xo) = 0 o no existe f’ (Xo).

Los extremos relativos de f son puntos críticos, pero no todo punto crítico es extremo relativo. Nótese que los puntos candidatos a ser extremos relativos están entre aquellos que verifican la condición necesaria anterior y aquellos donde la función derivada no existe.

Condición suficiente de extremo relativo (condición de segundo orden) Si f es una función con derivada segunda continúa en Xo y f’ (Xo) = 0, se verifica:

a) f’’ (Xo) o f tiene en x o un mínimo relativo estricto.

b) f’’ (Xo) o f tiene en x o un máximo relativo estricto.

Otra forma de determinar lo que ocurre en un punto crítico x o en el que f es continua, es estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en puntos muy próximos a Xo, situados antes y después de él. Así,

F estrictamente creciente en puntos X próximos a Xo con

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