Los extremos relativos de las siguientes funciones

Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = 8x4 + 2x3 - 5x2 + 5x-3

f’ (x) = d/dx(8x4 + 2x3 - 5x2 + 5x-3=

f’ (x)= 32x3 + 6x2 - 10x + 5

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = 0

32x3 + 6x2 - 10x + 5 = 0

32x3 + 6x2 - 10x = 5

x(32x2 + 6x – 10) = 5

x ~-0.810704

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = -0.810704

f “(x) = f ‘(x) =32x3 + 6x2 - 10x + 5

f “(x) = 96x3 + 12x - 10

f “(-0.810704) = 96(-0.810704)3 + 12(-0.810704) - 10

f “(-0.810704) = -70.88

lo que significa que por ser constante y negativa

f “(-0.810704) < 0

Entonces f “(-0.810704) es un máximo relativo

b) f(x) = x2 + 2

f’(x)= d/dx(x2 + 2)

f’(x)= d/dx(x2 + 2) = x/(x2 + 2)

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = 0

x/(x2 + 2) = 0

x = 0

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = 0

f’(x)= d/dx (x/(x2 + 2))

f “ (0) = 2/ (x2 + 2)3/2

f “ (0) = 2/ (02 + 2)3/2

f “ (0) = 1.26

f “ (0) > 0

Entonces f “(0) es un mínimo relativo.

c) f(x) = x /(x4+3)

f’(x) = d/dx(x /(x4+3)) = 3(x4-1)/ (x4+3) 2

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = 0

(x4 -1) = 0

Entonces x = 1 y x =-1 el dominio esta en el conjunto IR

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = 1 y x = -1

f”(x )= f’(x)=3(x4-1)/ (x4+3) 2

f”(x )= f’(x)=-(12 x3 (x4-5)/ (x4-5) ) /(x4+3) 2)

Resultado ,

f”(1)= -(12 13 (14-5)/ (14-5) ) /(14+3) 2)

d) f(x) = ln (x2/(1+x))

f’(x) = d/dx(ln (x2/(1+x)))

f’(x) = x+2 / x2 + x

f’(x) = x+2

cuando x+2 = 0 entonces x = -2

Los puntos críticos de f’(x) es cuando f’(x) = -2

x+2 = 0

Entonces x = -2; el dominio esta en el conjunto IR

Calculamos la segunda derivada de la función y evaluamos en ella el punto x = 1 y x = -1

f”(x )= f’(x)= (x+2) / (x2 + x)

f”(x )= f’(x)= (x2 + 4x+2)/ x2(x + 1) 2

Resultado de la evaluación ,

f”(-2)= (-22 + 4(-2)+2)/ -22(-2 + 1) 2

f”(-2)= (4 -8 +2)/ 42( -1) 2

f”(-2)= (-2)/ 4

f”(-2)= -2

e) f(x) = xex^2 + 1

f’(x) = d/dx (xex^2 + 1)

f’(x)=((xex^2 + 1) (x2+ x^2 + 1))/ x^2 + 1

f’(x) = 0

Cuando

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