Factorizacion

Factorización

,la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA

casos de factorizacion

1) Factor común:

Fórmula: No hay. Tienes que sacar el factor común y verificar que con la multiplicación de lo que está "dentro del paréntesis", te dé el polinomio original. Sólo así puedes factorizar por este método.

Ejemplo:

6m²n + 2mn + 3mn³ = mn(6m + 2 + 3n²)

2) Agrupación de términos:

Fórmula: tampoco hay. Tienes que agrupar términos semejantes, y luego aplicar el método del factor común.

Ejemplo:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)

3) Trinomio cuadrado perfecto:

Fórmulas:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

Ejemplo: 4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

4) Diferencia de cuadrados perfectos:

Fómula: a² - b² = (a + b)(a - b)

Ejemplo: 9 - x² = (3)² - (x)² = (3 - x)(3 + x)

5) Suma y Producto:

Fórmula: x² + bx + c: tienes que buscar que dos números multiplicados te den "b" y que sumados te den "c".

Ejemplo: x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

S = 3 + 2 = 5

P = (3)(2) = 6

6) Trinomio de la forma ax² + bx + c:

Fórmula: ax² + bx + c:

Ejemplo: 2x² + 11x+ 5 =

Multiplicas toda la expresión (y divides también) por el número que "acompaña" a x²:

= 2x² + 11x + 5 = 2(2x² + 11x + 5) / 2 = [2²x² + 2(11x) + 10] / 2

= [(2x)² + 11(2x) + 10] / 2

Ahora haces un cambio de variable: 2x = t

= (t² + 11t + 10)/2

Haces la factorización por "suma y producto", tratando de hallar dos números que sumados te den 11 y que multiplicados te den 10. Esos números son: 10 y 1:

= (t + 10)(t + 1) /2

pero habíamos dicho que t = 2x. Devolvemos el cambio de variable:

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