Factorizacion

C.3).- Factorización de monomios y polinomios.

C.2a).- Factorización de un monomio.

C.2b).- factorización de un polinomio.

C.4).- Factor común.

C.4 a).- Factor común monomio.

C.4 b).- Factor común polinomio.

C.5).- Trinomio cuadrado perfecto.

C.6).- Binomio cuadrado perfecto.

C.6 a).- Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

C.7).- Trinomio de la forma x2 + bx +c.

C.8).- Cubo perfecto de un binomio.

c).- Binomio de Newton

d).- Caso

e).- Ecuaciones cuadráticas.

e-a).- Gráficas e interpretaciones

e-b).- Aplicaciones.

Teorema fundamental del álgebra.

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FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Como veremos no todo polinomio se puede se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues en el mismo modo que en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que , por lo tanto, o son el producto de otras expresiones algebraicas, el teorema fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una descomposición.

Factor común

El caso mas simple es cuando todos los términos de un monomio o en general un polinomio tienen un factor común.

a).- Factor común monomio.

Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica: .

Como los factores de la expresión son y , los cuales tienen en común a escribiremos al factor común como coeficiente de la expresión teniendo

b).- Factor común polinomio.

Se pretende descomponer la expresión .

Los términos y tienen en común el factor por lo que

Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor común

polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por

el factor común.

Ejemplos:

Expresión algebraica

Factor común

descomposición

2+2x

2

2 + 2x =2(1+x)

x(a + b) + m(a + b)

(a + b)

x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)

3x2 + 3

3

3x2 + 3 = 3(x2+1)

2x+1

Ninguno

3x2 + 1

Ninguno

En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.

polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por

el factor común.

Ejemplos:

En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede descomponer como producto de un mismo factor.

Por ejemplo:

1.- Se puede expresar como 9x2 como 9x2= (3x)(3x)

2.- x4 se puede descomponer como x4=(x2 )(x2)

Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el producto de dos binomios iguales.

Por ejemplo: x2 + 2xy + y2 se puede expresar como:

Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:

(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

con signo menos:

(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2

o en una sola expresión:

(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.”

Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos

x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )

4x2 + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )

x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )

25a2 + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.

En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicados por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea

Se conoce como diferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos.

(x + y ) (x – y) = x2 – y2

Regla para factorizar una diferencia

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