Factorizacion

LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMAN

FRUTILLAR UNIDAD: Algebra

PROF: Cinthya Parra V.

GUIA DE APRENDIZAJE

Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico.

Expresión Algebraica: Conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí por operaciones. Ejemplos:

a) 4ax – 7y b) –5a2b3 c) a + b – c + d

Término: Expresión algebraica conformada exclusivamente por productos y/o cuocientes.

Ejemplo: 2mn3

En un término hay que distinguir el factor numérico y el factor literal.

El factor numérico (o coeficiente) que indica las veces que el factor literal se repite como sumando.

En el término 2m2 el coeficiente es 2.

En el término –5ab el coeficiente es –5.

El factor literal, que es la letra con su exponente.

En el término 4a3 el factor literal es a3

En el término 7a2b4 el factor literal es a2b4

Grado de un término algebraico: Corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo:

El grado de –3x2yz3 es 6 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 3.

Clasificación de las expresiones Algebraicas: las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos que la componen en:

a) Monomio: Expresión algebraica de un solo término.

Ejemplos:

a) 7k b) –0,5xy

b) Polinomio: Es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Ejemplos:

a) -7x2 + 4x – 5xy

b) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9

De acuerdo a la cantidad de sumando, el polinomio recibe otras denominaciones:

c) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

Ejemplos:

a) 5x2y + 2x2y3

b) -4x + 3y

d) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos.

Ejemplos:

a) 5x + 6y + 3z

b) –1 + ab + 3a2b

Evaluación de expresiones algebraicas

Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Ejemplo:

Valoremos la expresión 4x2y – 5xy2 - xy, considerando que x = -1 e y = 2.

4x2y – 5xy2 – xy = 4•(-1)2•2 - 5•(-1) •22 – (-1) •2 = 4•1•2 - 5•(-1) •4 – (-1) •2 = 8 + 20 + 2 = 30

Términos semejantes

Dos términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal.

Ejemplos:

a) 4m y –2m son términos semejantes

b) pq y p2q NO son términos semejantes

Adición de términos algebraicos

Para sumar dos o más términos algebraicos, éstos deben ser términos semejantes

Ejemplos:

1. 8x – 4x + 3x – x = 6x

2. –2ab + 6ab + 4ab – 8ab – ab = - ab

3. x2y + 5 x2y – 2x2y = 4x2y

Eliminación de paréntesis

Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo.

Si es positivo, no varían los términos al eliminar el paréntesis. Si es negativo, los términos cambian al signo opuesto que tenía.

Ejemplos:

a) a + (b + c) = a + b + c

b) a – (b + c) = a – b – c

c) x + (y + z) – (x – y + z) = x + y + z – x + y – z = 2y

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIÓN

Multiplicación de términos algebraicos:

Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay.

Ejemplos:

1. 5xy2 • -7x3y2 =

2. 2xy•(-5x + 4y – 3xy) =

3. (3x – 2y)(4x + 5y)=

4. (2a – 5b)(a – 2b + 5ab – 7) =

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Cuadrado del Binomio:

Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.

Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse como (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo.

Luego podemos enunciar que:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Ejemplos:

a) (x + 7)2 = x2 + 2•x•7 + 72 = x2 + 14x + 49

b) (2a – 3b)2 = (2a)2 - 2•2a•3b + (3b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2

Suma por Diferencia

Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.

Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir,

“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo”

Ejemplos:

a) (2x + 5y)(2x – 5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2

b) (7m2 + 5n3)(7m2 – 5n3) = (7m2)2 – (5n3)2 = 49m4 – 25n6

Multiplicación de Binomios con un Término Común

Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común “a”.

Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusión.

(x + 5)(x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15

Observa que 5 + 3 = 8 y que 5•3 = 15

(x – 7)(x + 2) = x2 + 2x – 7x – 14 = x2 – 5x - 14

Observa que –7 + 2 = -5 y que -7•2 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es

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